Ёж (топология)

Ёж в общей топологии — пример метризуемого пространства. Строится из центральной точки $O$, единичного полуинтервала $\mathbb {P} =(0,1]$ и произвольного множества $S$ заданной мощности ${\mathfrak {m}}$, называемой колючестью ежа, как:

$J({\mathfrak {m}})=\{O\}\cup (\mathbb {P} \times S)$,

с введением метрики следующим образом:

1. $d(O,(x,s))=x$
2. $d((x,s_{1}),(y,s_{2}))={\begin{cases}|x-y|,&s_{1}=s_{2}\\x+y,&s_{1}\neq s_{2}\end{cases}}$.

Название возникло из-за ассоциации с «иголками» из отрезков, торчащими из точки. «Колючесть» в этой ассоциации сопоставляется с количеством игл. Таким образом, $J(0)$ — просто точка $O$, $J(1)=J(2)$ — отрезок.

Свойства

• Ёж заданной колючести не зависит от выбора множества $S$ с точностью до гомеоморфизма.

• Теорема Ковальского о еже: Счётная степень ежа колючести ${\mathfrak {m}}$ (при ${\mathfrak {m}}\geq \aleph _{0}$) является универсальным пространством для всех метризуемых пространств веса ${\mathfrak {m}}$. То есть любое метризуемое пространство веса ${\mathfrak {m}}$ гомеоморфно подпространству счётной степени ежа колючести ${\mathfrak {m}}$.

• Ёж является полным пространством, также не является вполне ограниченным пространством, при ${\mathfrak {m}}\geq \aleph _{0}$, не сильно паракомпактен при ${\mathfrak {m}}>\aleph _{0}$.

• Ёж не является локально сепарабельным при ${\mathfrak {m}}>\aleph _{0}$.

• $J({\mathfrak {m}})$ вкладывается в $J({\mathfrak {n}})$ при ${\mathfrak {m}}\leq {\mathfrak {n}}$.

• $J({\mathfrak {m}})$ вкладывается в плоскость $\mathbb {R} ^{2}$ только при ${\mathfrak {m}}<\aleph _{0}$ .

• Если ${\mathfrak {m}}$ — конечно, то вес, плотность, характер, клеточность и число Линделёфа ежа $J({\mathfrak {m}})$ равны $\aleph _{0}$. Иначе (при ${\mathfrak {m}}\geq \aleph _{0}$) характер равен $\aleph _{0}$, а вес, плотность, клеточность и число Линделёфа равны ${\mathfrak {m}}$.

• Квадрат триноги $J(3)$ не вкладывается в трёхмерное евклидово пространство $\mathbb {R} ^{3}$.

• На плоскости ($\mathbb {R} ^{2}$) нельзя расположить несчётное количество триодов $J(3)$ так, чтобы они попарно не пересекались.

• Образ ежа при открытом отображении — снова ёж не большей колючести (здесь следует аккуратно понимать совпадающие случаи $J(1)$ и $J(2)$).

Литература

• Энгелькинг, Рышард. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — С. 374-375. — 752 с.