Линейное приближение

Линейное приближение (линейная аппроксимация) — приближение произвольной функции линейной функцией. Применяется для приближённых расчётов, в методе конечных разностей для решения дифференциальных уравнений.

График $f_{a}^{*}(x)$ — касательная в точке $(a,f(a))$

Для непрерывно дифференцируемой в окрестности точки $a$ функции вещественной переменной $f(x)$ линейное приближение определяется как:

$f_{a}^{*}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$.

Определение получается из равенства из теоремы Тейлора $f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+R_{2}$ игнорированием остаточного члена $R_{2}(x)=o(|x-a|)$. Поскольку в ближайшей окрестности точки $a$ значения этой функции близки к значениям $f(x)$, её можно использовать как замену значений $f(x)$ в приближённых вычислениях. При этом в общем случае погрешность возрастает при удалении от $a$ и равна $R_{2}$. График функции $f_{a}^{*}(x)$ — касательная к графику $f(x)$ в точке $a$.

Определение естественным образом обобщается на многомерный случай (вместо производной используется матрица Якоби) и на случай банаховых пространств (с использованием производной Фреше).

Литература

• Weinstein, Alan; Marsden, Jerrold E. Calculus III (неопр.). — Berlin: Springer-Verlag, 1984. — С. 775. — ISBN 0-387-90985-0.
• Strang, Gilbert. Calculus (англ.). — Wellesley College, 1991. — P. 94. — ISBN 0-9614088-2-0.
• Bock, David; Hockett, Shirley O. How to Prepare for the AP Calculus (англ.). — Hauppauge, NY: Barrons Educational Series, 2005. — P. 118. — ISBN 0-7641-2382-3.