Логарифмическая система счисления

Логарифмическая система счисления (LNS) — это арифметическая система, иногда используемая для представления вещественных чисел в компьютере и в цифровых аппаратных средствах, особенно в цифровой обработке сигналов.

Функции:. $s_{b}(z)$ и $d_{b}(z)$

Теория

В LNS число $X$ представлено логарифмом следующим образом:

$X\rightarrow \{s,x=\log _{b}(|X|)\},$

где $x$ - его абсолютное значение; $s$ обозначающий знак $X$ ($s=0$ если $X>0$ и $s=1$ если $X<0$).

Эта формулировка упрощает операции умножения, деления, возведения в степень, так как они сводятся к сложению, вычитанию, умножению и делению, соответственно. С другой стороны, операции сложения и вычитания в такой форме записи оказываются более сложными, и они рассчитываются по формулам:

$\log _{b}(|X|+|Y|)=x+s_{b}(y-x)$

$\log _{b}(||X|-|Y||)=x+d_{b}(y-x),$

где $z=y-x$ разница между логарифмами операндов, функция «суммы» $s_{b}(z)=\log _{b}(1+b^{z})$, а функция «разницы» $d_{b}(z)=\log _{b}(|1-b^{z}|)$. Эти функции $s_{b}(z)$ и $d_{b}(z)$, изображенные на рисунке справа, также известны как логарифмы Гаусса. Упрощение умножения, деления, взятия корня и возведения в степень компенсируется сложностью оценки этих функций для сложения и вычитания. Эта добавленная стоимость оценки может быть незначительна при использовании LNS в первую очередь для повышения точности операций с плавающей запятой.

История

Логарифмическая система счисления была независимо изобретена и опубликована по крайней мере три раза, в качестве альтернативы системам счисления с фиксированной и с плавающей запятой.

Кингсбери и Рейнер представили «логарифмическую арифметику» для цифровой обработки сигналов в 1971 году.

Аналогичная LNS была описана в 1975 году Шварцлендером и Алехопоулосом.

Ли и Эдгар описал подобную систему счисления, которую они назвали «Фокус», в 1977 году

Математические основы для сложения и вычитания в LNS восходят к Карлу Фридриху Гауссу и Z. Leonelli.

Применение

LNS была использована в Gravity Pipe (GRAPE) — специальном суперкомпьютере, который выиграл Премию Гордона Белла в 1999 году.

LNS обычно используется как часть скрытых марковских моделей, таких как Алгоритм Витерби, для распознавания речи и секвенирования ДНК.

Значительные усилия в исследовании применимости LNS в качестве жизнеспособной альтернативы системам с плавающей запятой общего назначения для обработки одинарной точности вещественных чисел описаны в контексте «Европейского логарифмического микропроцессора» (ELM). Представлен прототип 32-разрядного процессора, функционирующего в LNS. Дальнейшее совершенствование LNS, основанной на архитектуре ELM вновь показало значительно лучшую скорость вычислений и большую точность, нежели вычисления с плавающей запятой.

LNS иногда используется в FPGA — приложениях, где большинство арифметических операций это умножение и деление.

Ссылки

• A site that lists LNS papers
• A VHDL Library for LNS hardware generation