Логическая вероятность

Логическая вероятность — логическое отношение между двумя предложениями, степень подтверждения гипотезы H свидетельством E.

Понятие логической вероятности является одной из интерпретаций понятия вероятности наряду с частотной вероятностью и субъективной вероятностью^[1]. Формально логическая вероятность является функцией предложений какого-либо языка. Аналитическим предложениям (тавтологиям) приписывается единичное значение этой функции; противоречиям — нулевое; синтетическим предложениям — любое действительное число из интервала (0, 1)^[2]^[3]^[4]^[5]^[6]^[7]. Конкретные значения логической вероятности для каждого её синтетического аргумента H зависят от другого предложения E, которое можно интерпретировать как описание знаний некоторого субъекта^[7]^[8]^[9]^[10]^[11]. По этой причине логическую вероятность называют эпистемологической (зависящей от знаний) вероятностью. В некотором смысле её также можно трактовать и как разновидность субъективной вероятности. Однако значения логической вероятности однозначно определяются заданной системой знаний и, в этом смысле, имеют объективный характер^[2]. В научной литературе принято различать логическую и субъективную вероятности^[1].

Поскольку предложения языка описывают некоторые события или состояния, то логическую вероятность также можно рассматривать как функцию этих событий или состояний^[12]^[13]^[14].

История править

Понятие логической вероятности возникло и развивалось в работах Кейнса, Джонсона и Джеффри^[2]^[3]^[4]^[5]^[6]. Наиболее систематическое изучение данного понятия было проведено Карнапом^[7]^[8]^[9]^[10]^[11]. Его формулирование логической вероятности началась с конструирования формального языка. В 1950 году он рассмотрел класс очень простых языков, состоящих из конечного числа логически независимых одноместных предикатов, именуемых свойствами, и счетного количества констант. Для получения более сложных предложений использовались логические связки. Далее Карнап составил описания всех возможных состояний универсума.

Рассмотрим следующий пример, взятый из работы^[1]. Пусть формальный язык содержит три индивидуальные константы a, b, c и предикат F. Для определенности примем, что константы обозначают конкретных людей: Алису, Боба и Цезаря, а предикату соответствует свойство: «быть молодым». Существуют восемь возможных описаний состояний для этого случая, которые представлены в табл. 1.

Таблица 1

N	Описания состояний	Вероятности 1	Вероятности 2
1	$F(a)\land F(b)\land F(c)$	${\frac {1}{8}}$	${\frac {1}{4}}$
2	$F(a)\land F(b)\land \neg F(c)$	${\frac {1}{8}}$	${\frac {1}{12}}$
3	$F(a)\land \neg F(b)\land F(c)$	${\frac {1}{8}}$	${\frac {1}{12}}$
4	$F(a)\land \neg F(b)\land \neg F(c)$	${\frac {1}{8}}$	${\frac {1}{12}}$
5	$\neg F(a)\land F(b)\land F(c)$	${\frac {1}{8}}$	${\frac {1}{12}}$
6	$\neg F(a)\land F(b)\land \neg F(c)$	${\frac {1}{8}}$	${\frac {1}{12}}$
7	$\neg F(a)\land \neg F(b)\land F(c)$	${\frac {1}{8}}$	${\frac {1}{12}}$
8	$\neg F(a)\land \neg F(b)\land \neg F(c)$	${\frac {1}{8}}$	${\frac {1}{4}}$

Символ « $\land$ » обозначает логическую связку «И», а символ « $\neg$ » — логическую связку «НЕ». Первое предложение можно прочитать следующим образом: «Алиса, Боб и Цезарь — все молодые», второе — «Алиса и Боб — молодые, а Цезарь — нет», третье «Алиса и Цезарь — молодые, а Боб — нет» и т. д.

Карнап обозначал абсолютную логическую вероятность предложения A символом m(A). Её значение определяется как сумма вероятностей состояний, в которых предложение A является истинным. Предположим, что субъект не располагает фактическими знаниями и априори считает, что все состояния универсума одинаково вероятны. Тогда значения абсолютных логических вероятностей каждого состояния равны 1/8 (см. табл. 1). Следовательно, вероятности атомарных предложений равны 1/2, вероятность конъюнкции двух атомарных предложений — 1/4, вероятность дизъюнкции двух атомарных предложений — 3/4.

Карнап определяет функцию подтверждения c(H, E) предложения H предложением E следующим образом:

$c(H,E)={\frac {m(H\land E)}{m(E)}}$ .

С точки зрения обычной теории вероятностей функция подтверждения является условной вероятностью. Когда описания состояний универсума равновероятны, как в данном случае, мы не можем использовать полученный опыт для предсказания дальнейших событий. Например, функция подтверждения гипотезы "Цезарь молодой" при отсутствии всякого свидетельства, при наличии свидетельства "Алиса молодая" и при наличии свидетельства "Алиса молодая и Боб молодой" принимает одинаковое значение, равное 1/2.

Карнапа интересовал вопрос индуктивного вывода. Он считал, что индуктивная логика — это вероятностная логика, и новые свидетельства в пользу гипотезы должны увеличивать степень её подтверждения^[11]. В попытке согласовать свою модель с ожидаемыми результатами он обратился к структурным описаниям, которые можно получить, если все константы в языке считать неразличимыми (взаимозаменяемыми)^[7]. В нашем примере имеем четыре структурных описания.

1). «три молодых человека»,

2). «два молодых человека и один старый»,

3). «один молодой и два старых»,

4). «трое стариков».

Первому структурному описанию соответствует состояние 1 (см. табл. 1); второму — состояния 2, 3 и 5; третьему — состояния 4, 6, 7; четвертому — состояние 8. Каждому структурному описанию назначают одинаковое значение вероятности (равное 1/4 в нашем примере). Поскольку второму структурному описанию соответствуют три описания состояний 2, 3 и 5, то значения вероятностей этих состояний будут в три раза меньше значения вероятности структурного описания (то есть 1/12). Такие же значения вероятностей будут иметь и состояния 4, 6 и 7. Теперь имеем новое распределение вероятностей состояний, в котором значения вероятностей различаются (см. последний столбец табл. 1).

Для этого случая Карнап использует специальные обозначения логических функций m* и c*. Их численные значения для разных предложений языка в общем случае отличаются от значений функций m и c. Теперь появляется возможность обучения на опыте. Предположим, мы идем по улице. Значение функции подтверждения c* гипотезы "нам встретится молодой человек" при отсутствии всякого свидетельства равно 1/2. После того как мы увидели молодую девушку (Алису), оно повысится до величины 2/3. А после новой встречи с молодым человеком (Бобом) увеличивается до величины 3/4. Наши наблюдения могут наводить на мысль, что где-то поблизости расположен университет и студенты спешат на занятия. Поэтому нам и встречаются одни только молодые люди.

Необходимо заметить, что значения логической вероятности зависят от свидетельства (то есть от предложения), а не от фактов реального мира. Гипотеза «Цезарь окажется молодым» в отношении свидетельства «Алиса оказалась молодой и Боб тоже оказался молодым» имеет вероятность 3/4, независимо от того, видели ли мы Алису и Боба в реальной жизни или только вообразили себе их.

Обратимся к другому примеру. Допустим, некий человек увидел однажды черную ворону и ожидает, что и следующая увиденная им ворона окажется черной. Если это подтвердилось, то ожидания снова встретить ворону черного цвета у него будут выше, чем прежде. Впрочем, это не значит, что ситуация не может измениться (бывают ведь и белые вороны). Европейцы привыкли видеть белых лебедей и были несказанно удивлены (и очарованы), когда в Австралии обнаружили черного лебедя.

Предположим, что мы встретили юную девушку Алису, а затем немолодого Боба (возможно, что это профессор нашего гипотетического университета). Какова вероятность того, что в дальнейшем нам встретится молодой Цезарь? Говоря формальным языком, нам нужно найти значение функции подтверждения c* для этого случая. Оно будет равно 1/2. Вполне ожидаемый результат. Любопытно, что при новом распределении вероятностей состояний универсума атомарные предложения начинают зависеть друг от друга. Однако это уже не логическая, а физическая зависимость. Изменения в распределении вероятностей состояний приводят к получению новой информации (изменению знаний субъекта). В нашем случае — это представление о взаимозаменяемости индивидуальных констант. Другой пример: предложения «идет дождь» и «земля мокрая» являются логически независимыми. Однако физически они зависят друг от друга, это можно проверить опытным путём.

Классификация логических вероятностей править

Согласно Карнапу^[7], логические вероятности делятся на два класса: дедуктивные и индуктивные. Дедуктивными являются функции m и c. Примером индуктивных вероятностей могут служить функции m* и c*. Последние имеют особое значение, поскольку с их помощью можно построить логику индуктивного вывода)^[11]^[12]^[13]^[14]^[15].

Правило последовательности править

Задолго до Карнапа Лаплас вывел формулу, позволяющую рассчитывать предсказывающую (индуктивную) вероятность. Рассмотрим последовательность случайных исходов некоторого эксперимента, каждый принимает одно значение из двух возможных: либо 1, либо 0 (единица означает успех, а ноль — неудачу). Пусть E обозначает предложение «в n испытаниях было k успехов», а H обозначает предложение «следующее испытание закончится успехом». Тогда вероятность того, что следующее испытание завершится успехом, равна:

$P(H\mid E)={\frac {k+1}{n+2}}$ ,

Это знаменитое правило последовательности Лапласа.

Вернемся к нашему примеру. Пусть успех эксперимента заключается в том, что, двигаясь по улице, мы встречаем молодого человека, а неуспех — в том, что встречаем немолодого. Пока мы никого не встретили, $n=0$ и $k=0$ . Поэтому $P(H\mid E)={\frac {1}{2}}$ . После встречи с Алисой ( $n=1$ ), которая является юной девушкой ( $k=1$ ), предсказывающая вероятность увеличивается $P(H\mid E)={\frac {2}{3}}$ . А после встречи с Бобом ( $n=2$ ), который также имеет юный возраст ( $k=2$ ), она еще более увеличивается $P(H\mid E)={\frac {3}{4}}$ .

Карнап пошел дальше Лапласа. Он обобщил его формулу на случай $t$ исходов ( $t>2$ ) различных типов. Пусть в результате $n$ испытаний $n_{i}$ из них закончились исходом $i$ -го типа. Тогда вероятность того, что следующее $n+1$ испытание завершится исходом $i$ -го типа, равна^[7]^[14]:

$P(H\mid E)={\frac {n_{i}+1}{n+t}}$

В дальнейшем Карнап получил еще более общую формулу.

Континуум Джонсона — Карнапа править

Ранний Карнап излагал свою теорию скорее как философ, а не как математик^[14]. Позднее стиль его работ изменился, он стал использовать аксиомы и формальные доказательства^[11]. Современный подход к определению индуктивной вероятности заключается в следующем. Индуктивная вероятность рассматривается в виде $P(A\mid B\land K)$ , где предложения $A$ и $B$ входят в некоторую алгебру предложений, а $K$ является фиксированным предложением, называемом «фоновым свидетельством»^[15].

В нашем примере предложениями алгебры являются атомарные предложения $F(a)$ , $F(b)$ и $F(c)$ и их отрицания, а также молекулярные предложения, составленные из данных атомов с помощью логических связок. Фоновым свидетельством является утверждение о том, что все структурные описания имеют одинаковые вероятности. Предположим, что алгебра содержит предложения $A$ , $B$ , $C$ и $D$ . Следующие пять аксиом гарантируют, что $P(A\mid B\land K)$ удовлетворяет законам вероятности.

Аксиома 1. $P(A\mid B)\geq 0$ .

Аксиома 2. $P(A\mid A)=1$ .

Аксиома 3. $P(A\mid B)+P(\neg A\mid B)=1$ .

Аксиома 4. $P(A\land B\mid C)=P(A\mid C)P(B\mid A\land C)$ .

Аксиома 5. Если $A\land K\equiv C\land K$ и $B\land K\equiv D\land K$ , то $P(A\mid B)=P(C\mid D)$ .

Здесь символ « $\equiv$ » означает логическую эквивалентность. К этим пяти аксиомам следует добавить еще четыре аксиомы Карнапа^[10].

Аксиома 6. (Регулярности) $P(B)>0$ .

Аксиома 7. (Симметрии) $P(B)$ не изменяется при перестановке индивидуальных констант.

Аксиома 8. (Текущей релевантности (англ. instantial relevance)) $P(H\mid E_{2})>P(H\mid E_{1})$ , где свидетельство $E_{2}$ содержит всю информацию, которая содержится в $E_{1}$ , плюс новые подтверждения гипотезы $H$ .

Аксиома 9. (Постулат достаточности) Индуктивная вероятность является функцией $n_{i}$ и $n$ .

На основании этих аксиом Карнап доказал следующую теорему^[10]. Если имеется $t>2$ различных исходов испытаний, то существуют положительные действительные константы $\alpha _{1}$ ,…, $\alpha _{t}$ , такие что

$P(H\mid E)={\frac {n_{i}+\alpha _{i}}{n+\alpha }}$

где ${\alpha }=\sum _{i=1}^{t}\alpha _{i}$ .

Позднее выяснилось, что задолго до Карнапа этот результат был получен Джонсоном^[3]^[4], однако вследствие его ранней смерти оказался неизвестен широкой научной общественности^[14]. Полученную формулу можно представить в виде:

$P(H\mid E)=({\frac {n}{n+\alpha }})[{\frac {n_{i}}{n}}]+({\frac {\alpha }{n+\alpha }})[{\frac {\alpha _{i}}{\alpha }}]$

Выражения в квадратных скобках имеют очевидную интерпретацию. Первое ${\frac {n_{i}}{n}}$ представляет собой эмпирическую частоту, а второе ${\frac {\alpha _{i}}{\alpha }}$ — априорную вероятность исхода $i$ -го типа, полученную на основе анализа пространства возможных состояний. Выражения в круглых скобках — это относительные веса, которыми представлены эмпирические наблюдения и априорная информация в значении логической вероятности. При фиксированном $n$ , чем больше $\alpha$ , тем большую роль играет априорная информация (и наоборот). При малых $n$ , когда выборка наблюдений является недостаточно представительной, логично отдавать предпочтение априорной вероятности; при большом числе наблюдений, напротив — эмпирической частоте. При $n\to \infty$ значение индуктивной вероятности асимптотически стремится к значению частотной (независимо от конечной величины $\alpha$ ).

Универсальное обобщение править

Пусть объектом наблюдения являются $n$ ворон, и все они оказались черными ( $n_{i}=n$ ). На основании данного опыта можно выдвинуть гипотезу о том, что вороны — черные вообще. Какова вероятность такого утверждения? На этот вопрос теория Джонсона — Карнапа дает парадоксальный ответ — она равна нулю^[1]^[14]^[15].

Сэнди Забелл решил этот парадокс, заменив постулат достаточности новым постулатом^[13]. Пусть $T$ означает число исходов разных типов, наблюдаемых в серии из $n$ опытов. Новый постулат формулируется так: для всех $n\geq 1$ предсказывающая вероятность $P(H\mid E)$ является функцией $n_{i}$ и $n$ , за исключением случаев, когда $n_{i}=0$ и $T=1$ . В результате Забелл получил следующие формулы для индуктивной вероятности^[13]:

$P(H\mid E)={\frac {n_{i}+\alpha _{i}}{n+\alpha }}$ для $T>1$ ,

$P(H\mid E)=\varepsilon _{i}^{(n)}+(1-\varepsilon _{i}^{(n)}){\frac {n_{i}+\alpha _{i}}{n+\alpha }}$ для $T=1$ и $n_{i}=n$ .

$P(H\mid E)=(1-\varepsilon _{j}^{(n)}){\frac {\alpha _{i}}{n+\alpha }}$ для $T=1$ , $n_{i}=0$ и $n_{j}=n$ .

где $\varepsilon _{i}^{(n)}={\frac {\varepsilon _{i}}{\varepsilon _{i}+(1-\varepsilon )\prod _{j=0}^{n-1}({\frac {j+\alpha _{i}}{j+\alpha }})}}$ ,

$0\leq \varepsilon _{i}<1$ ,

${\varepsilon }=\sum _{i=1}^{t}\varepsilon _{i}<1$ .

Здесь $\varepsilon _{i}$ — априорная и $\varepsilon _{i}^{(n)}$ — апостериорная вероятности того, что исход $i$ -го типа в данном эксперименте будет наблюдаться всегда.

Место логической вероятности в ряду вероятностей других типов править

Согласно классическому определению, вероятность есть отношение числа избранных исходов некоторого эксперимента к числу всех мыслимых его исходов. При этом все они полагаются равновозможными. Как известно ^[1], критика недостатков этого определения привела к появлению понятия частотной вероятности. Логические теории возвращают нас к идее о том, что вероятность может быть определена априори путём исследования пространства возможностей, хотя теперь возможности могут быть заданы и с неравным весом.

Логическая вероятность имеет отношение к доступному свидетельству и не зависит от неизвестных фактов о мире, а частотная — является фактом о мире и не имеет отношения к доступному свидетельству^[16]. Тем не менее, различие между этими вероятностями достаточно тонкое. Например, если известно, что при бросании игральной кости величина частотной вероятности выпадения шестерки равна q=0,18, то логическая вероятность гипотезы «выпадет шестерка» относительно свидетельства «брошена кость с заданной q» равна 0,18.

Существует мнение^[1]^[14]^[15], что если знания субъекта можно представить в виде некого сложного предложения (total evidence), то логическая вероятность способна служить разумным обоснованием субъективной вероятности. Однако в работе^[16] утверждается, что, субъективная вероятность — это смесь мистики, прагматизма и высокомерия, в которой лишь немного индуктивной вероятности.

Примечания править

↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ Hajek Alan. (2007). Interpretation of probability. In The Stanford Encyclopedia of Philosophy, ed. Edward N. Zalta, https://plato.stanford.edu/entries/probability-interpret/ Архивная копия от 17 февраля 2021 на Wayback Machine.
↑ ¹ ² ³ Keynes J.M. A Treatise on Probability. Macmillan, London, 1921.
↑ ¹ ² ³ Jonnson W.E. Logic, Part III: Logical Foundation of Science. Cambridge University Press, 1924.
↑ ¹ ² ³ Johnson W.E. Probability: The deductive and inductive problems. Mind, 41: 409-423, 1932.
↑ ¹ ² Jeffrey R.C. Theory of Probability. Clarendon Press, Oxford, 3rd edition, 1961.
↑ ¹ ² Jeffrey R.C. Subjective Probability: The Real Thing. Cambridge University Press, Cambridge, 2004.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ Carnap R. Logical Foundation of Probability. University of Chicago Press, Chicago, 1950, Second edition, 1962.
↑ ¹ ² Carnap R. The two concepts of probability. Phylosophy and Phenomeno logical Research, 5:513-532, 1945.
↑ ¹ ² Carnap R. On inductive logic. Philosophy of Science, 12:72-97, 1945.
↑ ¹ ² ³ ⁴ Carnap R. The Continuum of Inductive Methods. University of Chicago Press, Chicago, 1952.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ Carnap R., Jeffrey R.C. Studies in Inductive Logic and Probability, volume I. University of California Press, Berkeley and Los Angeles, 1971.
↑ ¹ ² Гастев Ю.А. Вероятностная логика/ Большая Советская Энциклопедия, 1971, Т. 4, с. 543.
↑ ¹ ² ³ ⁴ Zabell S.L. (1996) Confirming universal generalizations. Erkenntnis, 45: 267-283.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ Zabell S.L. (2004). Carnap and the Logic of Inductive Inference. In Dov M. Gabbay, John Woods & Akihiro Kanamori (eds.), Handbook of the History of Logic. Elsevier 265-309.
↑ ¹ ² ³ ⁴ Maher Patrick, (2010). Explication of Inductive Probability. Journal of Philosophical Logic 39 (6): 593-616.
↑ ¹ ² Maher Patrick, (2006) The Concept of Inductive Probability. Erkenntnis, 65: 185-206.

[list1-1] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ Hajek Alan. (2007). Interpretation of probability. In The Stanford Encyclopedia of Philosophy, ed. Edward N. Zalta, https://plato.stanford.edu/entries/probability-interpret/ Архивная копия от 17 февраля 2021 на Wayback Machine.

[list2-2] ¹ ² ³ Keynes J.M. A Treatise on Probability. Macmillan, London, 1921.

[list3-3] ¹ ² ³ Jonnson W.E. Logic, Part III: Logical Foundation of Science. Cambridge University Press, 1924.

[list4-4] ¹ ² ³ Johnson W.E. Probability: The deductive and inductive problems. Mind, 41: 409-423, 1932.

[list5-5] ¹ ² Jeffrey R.C. Theory of Probability. Clarendon Press, Oxford, 3rd edition, 1961.

[list6-6] ¹ ² Jeffrey R.C. Subjective Probability: The Real Thing. Cambridge University Press, Cambridge, 2004.

[list7-7] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ Carnap R. Logical Foundation of Probability. University of Chicago Press, Chicago, 1950, Second edition, 1962.

[list8-8] ¹ ² Carnap R. The two concepts of probability. Phylosophy and Phenomeno logical Research, 5:513-532, 1945.

[list9-9] ¹ ² Carnap R. On inductive logic. Philosophy of Science, 12:72-97, 1945.

[list10-10] ¹ ² ³ ⁴ Carnap R. The Continuum of Inductive Methods. University of Chicago Press, Chicago, 1952.

[list11-11] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ Carnap R., Jeffrey R.C. Studies in Inductive Logic and Probability, volume I. University of California Press, Berkeley and Los Angeles, 1971.

[list12-12] ¹ ² Гастев Ю.А. Вероятностная логика/ Большая Советская Энциклопедия, 1971, Т. 4, с. 543.

[list13-13] ¹ ² ³ ⁴ Zabell S.L. (1996) Confirming universal generalizations. Erkenntnis, 45: 267-283.

[list14-14] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ Zabell S.L. (2004). Carnap and the Logic of Inductive Inference. In Dov M. Gabbay, John Woods & Akihiro Kanamori (eds.), Handbook of the History of Logic. Elsevier 265-309.

[list15-15] ¹ ² ³ ⁴ Maher Patrick, (2010). Explication of Inductive Probability. Journal of Philosophical Logic 39 (6): 593-616.

[list16-16] ¹ ² Maher Patrick, (2006) The Concept of Inductive Probability. Erkenntnis, 65: 185-206.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]