Локально линейно связное пространство

Локально линейно связное пространство ― топологическое пространство, в котором для любой точки и любой её окрестности имеется меньшая линейно связная окрестность. Другими словами, у каждой точки найдётся база окрестностей, состоящая из линейно связных множеств.

Подмножество топологического пространства называется локально линейно связным, если оно вместе со своей индуцированной топологией образует локально линейно связное пространство.

Свойства

• Локально линейно связное пространство является локально связным, обратное не всегда выполнено.
• Локально линейно связное пространство не обязано быть линейно связным, однако и обратное не всегда верно.

Примеры

Гребёнка — линейно связное, но не локально линейно связное пространство

• Евклидово пространство $\mathbb {R} ^{n}$ со стандартной топологией является локально линейно связным.
• Пространство $[0,1]\cup [2,3]$ с топологией, индуцированной стандартной топологией действительной прямой, является локально линейно связным, однако не является линейно связным.
• Гребёнка, то есть подмножество евклидовой плоскости

$\left(\{0\}\times [0,1]\right)\cup \left([0,1]\times \{0\}\right)\cup \left(\{1/n\mid n\in \mathbb {N} \}\times [0,1]\right)$

с топологией, индуцированной стандартной, является, очевидно, линейно связным пространством, однако локально линейно связным не является: любая достаточно малая (радиуса меньше $1/2$) окрестность точки $(0,1/2)$ не является линейно связной.