Мадхава из Сангамаграмы

Эта статья — об астрономе и математике. О кришнаитском святом см. Мадхава Гхош.

Ма́дхава из Сангамаграмы (малаял. സംഗമഗ്രാമ മാധവൻ, хинди संगमग्राम के माधव; 1350 — 1425) — средневековый индийский астроном и математик XIV—XV веков, основатель Керальской школы астрономии и математики. Сангамаграма, где он родился — это, как полагают историки, нынешний город Иринджалакуда в штате Керала, южная Индия.

Мадхава
малаял. സംഗമഗ്രാമ മാധവൻ хинди संगमग्राम के माधव
Дата рождения	1350
Место рождения	Сангамаграма[d], Индия
Дата смерти	1425
Место смерти	неизвестно
Страна	Индия
Научная сфера	астрономия, математика
Известен как	первый получил разложение тригонометрических функций в ряды

Мадхава первым стал заниматься разложением тригонометрических функций в ряды; эти исследования продолжили Нилаканта Сомаяджи и другие учёные керальской школы. Другие исследования Мадхавы относятся к алгебре, тригонометрии и геометрии.

Научная деятельность

Труды Мадхавы, за исключением двух, не сохранились, так что судить о его влиянии можно по многочисленным ссылкам и цитатам его учеников и последователей. Из-за этого, впрочем, трудно отделить результаты самого Мадхавы от достижений других керальских учёных.

Разложение тригонометрических функций

Приведём основные разложения в современных обозначениях (керальцы излагали их словесно, нередко стихами на санскрите).

№	Ряд	Пояснение	Когда и кем открыт в Европе
1	$\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots$	Ряд для синуса	Исаак Ньютон (1670) и Вильгельм Лейбниц (1676)
2	$\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots$	Ряд для косинуса	Исаак Ньютон (1670) и Вильгельм Лейбниц (1676)
3	$\operatorname {arctg} x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots$	Ряд для арктангенса	Джеймс Грегори (1671) и Вильгельм Лейбниц (1676)
4	${\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\ldots$	Ряд для числа $\pi$	Джеймс Грегори (1671) и Вильгельм Лейбниц (1676)

Эти ряды часто называют рядами Мадхавы-Лейбница или Мадхавы-Грегори. С помощью указанных рядов Мадхава рассчитал и опубликовал точные таблицы синусов. Ещё один ряд, приведённый в труде Джьештадевы со ссылкой на Мадхаву, позволяет рассчитать значение арктангенса:

$\theta =\operatorname {tg} \theta -{\frac {\operatorname {tg} ^{3}\theta }{3}}+{\frac {\operatorname {tg} ^{5}\theta }{5}}-{\frac {\operatorname {tg} ^{7}\theta }{7}}+\cdots$

Значение числа π

Расчёт значения числа $\pi$ по приведённой выше формуле обнаружен в трактате «Махаджьянаяна», автор которого неизвестен. Часть историков приписывает его Мадхаве, другие — кому-то из его последователей в XVI веке. В трактате приводится также преобразованный ряд, который сходится быстрее:

$\pi ={\sqrt {12}}\left(1-{1 \over 3\cdot 3}+{1 \over 5\cdot 3^{2}}-{1 \over 7\cdot 3^{3}}+\cdots \right)$

Сумма первых 21 слагаемых даёт значение $3{,}14159265359$, все знаки, исключая последний, верны.

Возможно, Мадхаве принадлежит трактат «Садратнамала», где приводится ещё более точное значение: $\pi =3{,}14159265358979324$ (верны все знаки, кроме последнего)

Математический анализ

Мадхава заложил основы математического анализа, которые получили дальнейшее развитие в Керальской школе астрономии и математики его последователями. Мадхава также улучшил некоторые результаты, обнаруженные в более ранних работах, в том числе в работах Бхаскары II. Однако он так и не смог сделать последний шаг и объединить множество различных идей анализа бесконечно малых, не показав связи между производной и интегралом, ему не удалось сформировать основы мощного аналитического инструмента решения задач, который был разработан в Европе в XVII веке.

Труды

Как уже говорилось выше, точно неизвестно, какие из дошедших до нас трудов керальских учёных принадлежат Мадхаве. Историк К. В. Сарма приводит следующий список:

1. Голавада
2. Мадхьяманаянапракара
3. Махаджьянаянапракара
4. Лагнапракарана (लग्नप्रकरण)
5. Венвароха (वेण्वारोह)
6. Спхутакандрапти (स्फुटचन्द्राप्ति)
7. Аганита-грахакара (अगणित-ग्रहचार)
8. Чандравакьяс (चन्द्रवाक्यानि)

См. также

• Индийская астрономия
• История математики
• История математики в Индии

Литература

• Бахмутская Э. Я. Степенные ряды для sint и cost в работах индийских математиков XV - XVIII вв // Историко-математические исследования. — М.: Физматгиз, 1960. — № 13. — С. 325—334.
• Володарский А. И. Очерки истории средневековой индийской математики. Либроком, 2009, 184 с. (Физико-математическое наследие: математика). ISBN 978-5-397-00474-9.
• История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. I.
• Стюарт, Иэн. Новатор бесконечности. Мадхава из Сангамаграмы // Значимые фигуры. Жизнь и открытия великих математиков. — М.: Альпина нон-фикшн, 2019. — 446 с. — ISBN 978-5-91671-946-8.
• Bressoud, David. Was Calculus Invented in India? // The College Mathematics Journal (Math. Assoc. Amer.). — 2002. — Vol. 33, № 1. — P. 2–13.
• Roy, Ranjan. Discovery of the Series Formula for $\pi$ by Leibniz, Gregory, and Nilakantha // Mathematics Magazine (Math. Assoc. Amer.). — 1990. — Vol. 63, № 5. — P. 291–306.

Ссылки

• Джон Дж. О’Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон. Мадхава из Сангамаграмы (англ.) — биография в архиве MacTutor.
• Agrawal D. P. The Kerala School, European Mathematics and Navigation, 2001. (англ.)
• An overview of Indian mathematics, MacTutor History of Mathematics archive, 2002. (англ.)
• Indians predated Newton 'discovery' by 250 years, phys.org, 2007. (англ.)
• Pearce I. G. Indian Mathematics: Redressing the balance, MacTutor History of Mathematics archive, 2002. (англ.)