Альтернативная матрица

Не следует путать с Альтернированной матрицей.

Альтернати́вная ма́трица (англ. Alternant matrix) — в линейной алгебре матрица специального вида размерности $m\times n$, задаваемая с помощью $m$ элементов $\alpha _{1},\alpha _{2},\dots \alpha _{m}$ и $n$ функций $f_{1},f_{2},\dots f_{n}$ так, что каждый элемент матрицы $M_{i,j}=f_{j}(\alpha _{i})$ или, в развёрнутом виде:

$M={\begin{bmatrix}f_{1}(\alpha _{1})&f_{2}(\alpha _{1})&\dots &f_{n}(\alpha _{1})\\f_{1}(\alpha _{2})&f_{2}(\alpha _{2})&\dots &f_{n}(\alpha _{2})\\f_{1}(\alpha _{3})&f_{2}(\alpha _{3})&\dots &f_{n}(\alpha _{3})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}(\alpha _{m})&f_{2}(\alpha _{m})&\dots &f_{n}(\alpha _{m})\\\end{bmatrix}}$

Иногда альтернативная матрица определяется в траспонированном виде.

Примеры и использование альтернативных матриц

Распространённый и часто встречающийся частный случай альтернативной матрицы — матрица Вандермонда. Альтернативная матрица принимает этот вид при $f_{i}(\alpha )=\alpha ^{i-1}$. (Некоторые авторы называют именно матрицу Вандермонда альтернативной.) Более редкий частный случай альтернативной матрицы — матрица Мура, в которой $f_{i}(\alpha )=\alpha ^{q^{i-1}}$.

В более общем виде альтернативные матрицы применяются в теории кодирования.

Свойства альтернативных матриц

Если исходная альтернативная матрица квадратная и если все функции $f_{j}(x)$ полиномиальны, то при условии $\alpha _{i}=\alpha _{j}$ для всех $i<j$ детерминант альтернативной матрицы равен нулю, и таким образом, $(\alpha _{j}-\alpha _{i})$ является делителем детерминанта такой альтернативной матрицы при любых $i,j$, удовлетворяющим условию $1\leq i<j\leq n$. Следовательно, детерминант Вандермонда

$V={\begin{bmatrix}1&\alpha _{1}&\dots &\alpha _{1}^{n-1}\\1&\alpha _{2}&\dots &\alpha _{2}^{n-1}\\1&\alpha _{3}&\dots &\alpha _{3}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&\alpha _{n}&\dots &\alpha _{n}^{n-1}\\\end{bmatrix}}$

равный $\prod _{i<j}(\alpha _{j}-\alpha _{i})$ также является делителем детерминантов таких альтернативных матриц. Отношение ${\frac {\det M}{\det V}}$ носит специальное название «биальтернант».

Заметим также, что в случае, когда $f_{j}(x)=x^{m_{j}}$, мы получаем классическое определение многочленов Шура.

См. также

• Матрица Вандермонда
• Список матриц

Литература

• A. C. Aitken. Determinants and Matrices. — 9th edition. — Edinburgh: Oliver and Boyd Ltd, 1956. — С. 111—123. — 144 с.
• Richard P. Stanley. Enumerative Combinatorics. — Cambridge University Press, 1999. — Т. 2. — С. 334—342. — ISBN 0521560691.
• Thomas Muir. A treatise on the theory of determinants. — Mineola, N.Y.: Dover Publications, 2003. — С. 321—363. — 766 с. — ISBN 0486495531.