Многочлены Шура — названные в честь И. Шура симметрические многочлены от переменных специального вида, параметризованные разбиениями неотрицательных целых чисел в сумму неупорядоченных слагаемых, или, что то же самое, диаграммами Юнга с не более, чем столбцами. Коэффициенты их задания как многочленов от элементарных симметрических многочленов Ньютона связаны со значениями характеров соответствующих представлений симметрической группы .

Формальное определение

править

Многочлен Шура, соответствующий разбиению   равен[1]

 

Также имеются формулы, выражающие многочлены Шура через элементарные симметрические многочлены   и полные симметрические многочлены  :

 , где  ,
 , где   - сопряжённое к   разбиение, а также  .

В частности,   и  .

Связь с представлениями симметрической группы

править

Многочлен Шура  , соответствующий диаграмме Юнга  , выражается через элементарные симметрические многочлены Ньютона   с коэффициентами, выражающимися через значения характера  , соответствующего   представления симметрической группы  . А именно,

 

где запись   означает, что в классе сопряжённости   в разложении подстановки на непересекающиеся циклы имеется   циклов длины  .

Ссылки

править
  1. А. Окуньков, Г. Ольшанский, «Сдвинутые функции Шура», Алгебра и анализ, 9:2 (1997), 73-146