Метод Чаплыгина

Ме́тод Чаплы́гина (также известен как метод двухсторонних приближений) — метод приближённого решения дифференциальных уравнений с заданной степенью точности, который был предложен С. А. Чаплыгиным и основывается на теореме Чаплыгина. Метод предназначен для решения задачи Коши для системы ОДУ первого порядка (либо для одного ОДУ порядка выше первого) и состоит в построении двух семейств барьерных решений, последовательно приближающихся к точному решению системы.

Описание метода

Основная идея

Пусть дано дифференциальное уравнение, разрешённое относительно высшей производной:

$y^{(n)}-f(x,y,y',y'',...,y^{(n-1)})=0$.

Тогда требуется найти две функции $z=z(x)$ и $u=u(x)$, равные искомому интегралу в точке $x_{0}$ и, на некотором прилегающем к этой точке участке, удовлетворяющие неравенству $u<y<z$. Можно сказать, что функции $z$ и $u$ совпадают со сторонами AB и AC криволинейного треугольника ABC (абсцисса точки A — $x_{0}$), внутри которого проходит функция $y(x)$, причём расстояние между B и C должно быть сравнительно невелико.

Алгоритм (для уравнения первого порядка)

Требуется решить уравнение $y'-f(x,y)=0$, причём функция $f(x,y)$ удовлетворяет условию Липшица.

1. Найдём две функции $z_{0}$ и $u_{0}$ такие, что в точке $x_{0}$ они являются решениями уравнения и на некотором полуинтервале $(x_{0},b]$ выполняется:
   $u_{0}'-f(x,u_{0})<0$;
   $z_{0}'-f(x,z_{0})>0$.
   Эти функции будем считать первым приближением решения.
2. Пусть нам уже известно некоторое приближённое решение $z_{i}$ и $u_{i}$, тогда следующим приближением будут функции:
   $h(x)=u_{i}'(x)-f(x,u_{i}(x))$;
   $u_{i+1}(x)=u_{i}(x)-\int _{x_{0}}^{x}{e^{-L(x-t)}h(t)dt}$;
   $g(x)=z_{i}'(x)-f(x,z_{i}(x))$;
   $z_{i+1}(x)=z_{i}(x)-\int _{x_{0}}^{x}{e^{-L(x-t)}g(t)dt}$.
   Здесь L — константа Липшица для функции $f(x,y)$.
   
   Если дополнительно выполняется условие сохранения знака второй частной производной функции $f(x,y)$ по $y$ в области $(x,y)\in ([x_{0},b],[u_{i}(x),z_{i}(x)])$, то следующее приближение может быть найдено другим методом: построим две поверхности $\Phi (x,y)$ и $\phi (x,y)$, одна из которых образована прямыми, проходящими через точки пересечения $f(x,y)$ с $u_{i}(x)$ и $z_{i}(x)$ при фиксированном $x$, а вторая касательными к ней, проведёнными под минимальным углом к плоскости OXY параллельно оси OY, причём $\Phi (x,y)\geqslant f(x,y)\geqslant \phi (x,y)$. Тогда функции $z_{i+1}$ и $u_{i+1}$ могут быть получены путём решения двух линейных дифференциальных уравнений:
   $z_{i+1}'=\Phi (x,z_{i+1})$; $u_{i+1}'=\phi (x,u_{i+1})$

Сходимость

Метод Чаплыгина представляет собой обобщение метода Ньютона для решения ОДУ, следовательно, начиная с некоторого n, $z_{n}-u_{n}\leqslant C/{2^{2^{n}}}$.

Литература

• Чаплыгин С. А. Новый метод приближённого интегрирования дифференциальных уравнений / Под ред. В. К. Гольцмана. — Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950.
• Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959. — Т. 2. — С. 260-277.