Метод неопределённых коэффициентов

Метод неопределённых коэффициентов ― метод, используемый в математике для нахождения искомой функции в виде точной или приближённой линейной комбинации конечного или бесконечного набора базовых функций. Указанная линейная комбинация берётся с неизвестными коэффициентами, которые определяются тем или иным способом из условий рассматриваемой задачи. Обычно для них получается система алгебраических уравнений.

Применения

Ниже приведены задачи, которые решаются методом неопределённых коэффициентов. Система уравнений в них получается из приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях в равных многочленах.

Разложение дроби на простейшие

Основная статья: Разложение рациональной дроби на простейшие

Классическим примером применения метода неопределённых коэффициентов является разложение правильной рациональной дроби в комплексной или вещественной области на простейшие дроби.

Пусть $P$ и $Q$ — многочлены с комплексными коэффициентами, причём степень многочлена $P$ меньше степени многочлена $Q$. Будем полагать, что степень многочлена $Q$ равна $n$, коэффициент при старшем члене многочлена $Q$ равен 1, а $z_{k}$, $k\leq n$ ― различные корни многочлена $Q$ с кратностями $\alpha _{k}\geq 1$, соответственно. Отсюда имеем

$Q(z)=(z-z_{1})^{\alpha _{1}}(z-z_{2})^{\alpha _{2}}..(z-z_{k})^{\alpha _{k}},$

$\alpha _{1}+\alpha _{2}+...+\alpha _{k}=n,$

Функция $P/Q$ представима, и притом единственным образом, в виде суммы простейших дробей

${\frac {P(z)}{Q(z)}}=\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{\alpha _{i}}{\frac {A_{i,j}}{(z-z_{i})^{j}}},$

где $A_{i,j}$ ― неизвестные пока комплексные числа (их число равно $n$). Для их отыскания обе части равенства приводят к общему знаменателю. После его отбрасывания и приведения в правой части подобных членов получается равенство, которое сводится к системе линейных уравнений относительно $A_{i,j}$.

Примечание. Нахождение коэффициентов упрощается, если $Q$ имеет только некратные корни $z_{k}$, $k=1,...,n$, то есть все $\alpha _{k}=1$ и

${\frac {P(z)}{Q(z)}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {A_{i}}{z-z_{i}}}.$

После умножения на $z-z_{k}$ последнего равенства и подстановки $z=z_{k}$ непосредственно получаем значение соответствующего коэффициента

$A_{k}={\frac {P(z_{k})}{\prod \limits _{i\neq k}(z_{k}-z_{i})}},\quad k=1,...,n.$.

Интегрирование

При вычислении неопределённого интеграла от рациональной функции метод неопределённых коэффициентов используется при разложении дроби на сумму простейших, как описано выше, а также в методе Остроградского, применяемом если корни знаменателя дроби имеют большую кратность. Он также используется при интегрировании иррациональностей вида

${P_{n}(x) \over {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}},$

где $P_{n}(x)$ многочлен степени $n$. Тогда

$\int {P_{n}(x) \over {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}dx=P_{n-1}(x){\sqrt {ax^{2}+bx+c}}+\lambda \int {dx \over {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}.$

После дифференцирования этого равенства, решая систему уравнений, определяют неопределённые коэффициенты многочлена $P_{n-1}(x)$ степени $n-1$, а также $\lambda$.

Обращение ряда

Если функция $f(x)$, не равная нулю при $x=0$ разложена в ряд Маклорена:

$f(x)=a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots ,$

то существует ряд Маклорена противоположной функции:

$1/f(x)=b_{1}x+b_{2}x^{2}+\ldots ,$

Коэффициенты этого ряда можно найти, перемножив эти два равенства и применив метод неопределённых коэффициентов. Получится бесконечная треугольная система линейных уравнений, из которой последовательно найдутся искомые коэффициенты.

Аналогичным, но более громоздким, образом можно найти коэффициенты ряда обратной функции:

$g(x)=c_{1}x+c_{2}x^{2}+\ldots ,$

При этом используется соотношение $g(f(x))=x$, то есть весь ряд для $f(x)$ подставляется вместо $x$ в ряд для $g(x)$.

Сумма степеней

В качестве частного примера можно привести задачу о нахождении формулы k-х степеней: $\sum _{i=0}^{n}i^{k}$. Будем искать ответ в виде многочлена $k+1$-ой степени от $n$. Коэффициенты же этого многочлена найдём с помощью метода неопределённых коэффициентов.

Пример. Ищем $\sum _{i=0}^{n}i^{3}$ в виде $p(n)=an^{4}+bn^{3}+cn^{2}+dn+e$.

По определению $p(n)-p(n-1)=n^{3}$, а также $p(1)=1$. Подставляя многочлен в приведённой форме и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем систему для их определения:

${\begin{cases}4a-1=0\\-6a+3b=0\\4a-3b+2c=0\\-a+b-c+d=0\\a+b+c+d+e=1\end{cases}},$

откуда получаем ответ: $\sum _{i=0}^{n}i^{3}={\frac {1}{4}}n^{4}+{\frac {1}{2}}n^{3}+{\frac {1}{4}}n^{2}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}$

Нахождение частного решения неоднородного дифференциального уравнения

В некотором смысле данное применение является обобщением предыдущего — в том случае искалось решение разностного уравнения $\Delta p(n)=n^{3}$, здесь же ищется решение уравнения $a_{n}f^{(n)}(x)+\ldots +a_{2}f''(x)+a_{1}f'(x)+a_{0}f(x)=g(x)$.

Обычно метод неопределённых коэффициентов применяют в случаях, когда правая часть представляет собой алгебраический или тригонометрический полином.

Ссылки

• Интересные примеры: разложение дроби