Метод суперпозиции

Метод суперпозиции — метод решения краевой задачи для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений путём преобразования в задачу Коши.

Описание метода

Основная идея метода суперпозиции заключается в преобразовании граничной задачи для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений к двум или нескольким задачам Коши, которые можно решить одним из методов решения задач Коши, например методом Рунге-Кутта. Это преобразование осуществляется путём представления искомого решения $x(t)$ в виде линейной суммы $x(t)=x_{1}(t)+C_{1}x_{2}(t)+...+C_{N}x_{N}(t)$ нескольких функций $x_{1}(t),x_{2}(t),...x_{N}(t)$, включающей столько неизвестных констант $C_{1},...,C_{N}$, сколько недостаёт начальных условий для приведения к задаче Коши. Затем это представление $x(t)$ подставляется в исходное дифференциальное уравнение и в результате получаем систему из $N+1$ дифференциальных уравнений. При подстановке представления в условия для границ даёт возможность вычислить начальные условия задачи Коши и неизвестные константы $C_{1},...,C_{N}$.

Пример

Рассмотрим краевую задачу, определяемую линейным дифференциальным уравнением второго порядка:

$f(t,x,{\frac {dx}{dt}},{\frac {d^{2}}{dt^{2}}})=r(t)$ (1)

и граничными условиями

$x(0)=x_{0},x(1)=x_{1}$ (2).

Для приведения краевой задачи к задаче Коши недостаёт одного условия, поэтому представим решение в виде

$x(t)=x_{1}(t)+C_{1}x_{2}(t)$ (3)

с одной неизвестной константой $C_{1}$.

Подставив это разложение в (1) получаем:

$[f(t,x_{1},{\frac {dx_{1}}{dt}},{\frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}})-r(t)]+C_{1}[f(t,x_{2},{\frac {dx_{2}}{dt}},{\frac {d^{2}x_{2}}{dt^{2}}})]=0$

В этом уравнении оба слагаемых должны быть равны нулю.

$f(t,x_{1},{\frac {dx_{1}}{dt}},{\frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}})=r(t)$ (4)

$f(t,x_{2},{\frac {dx_{2}}{dt}},{\frac {d^{2}x_{2}}{dt^{2}}})=0$ (5)

Первое граничное условие в (2) принимает вид:

$x_{1}(0)+C_{1}x_{2}(0)=x_{0}$,

отсюда вытекает:

$x_{1}(0)=x_{0},x_{2}(0)=0$ (6 a, b)

Начальные условия для производной найдем путём дифференцирования (3) в точке 0:

${\frac {dx(0)}{dt}}={\frac {dx_{1}(0)}{dt}}+C_{1}{\frac {dx_{2}(0)}{dt}}$ (7)

Граничные условия для производной можно положить:

${\frac {dx_{1}(0)}{dt}}=0,{\frac {dx_{2}(0)}{dt}}=1$ (8 a, b)

Из (6) получаем:

${\frac {dx(0)}{dt}}=C_{1}$ (9)

Граничное условие во второй точке имеет вид:

$x_{1}(1)+C_{1}x_{2}(1)=x_{1}$

Из этого уравнения получаем:

$C_{1}={\frac {[x_{1}-x_{1}(1)]}{x_{2}(1)}}$. (10)

Итак, мы получили все начальные данные для задачи Коши. Граничная задача (1), (2) решается следующим образом:

1. Интегрируем уравнение (4) с начальными условиями (6 a), (8 a) от 0 до 1. Получаем $x_{1}(1)$.
2. Интегрируем уравнение (5) с начальными условиями (6 b), (8 b) от 0 до 1. Получаем $x_{2}(1)$.
3. По формуле (10) вычисляем константу $C_{1}$, которая в силу (9) является недостающим начальным значением.
4. По формуле (3) вычисляем решение исходной задачи.

Литература

• Ц. На Вычислительные методы решения прикладных граничных задач. - М.: Мир, 1982.