Метод характеристик

Метод характеристик — метод решения дифференциальных уравнений в частных производных. Обычно применяется к решению уравнений в частных производных первого порядка, но он может быть применён и к решению гиперболических уравнений более высокого порядка.

Принцип

Метод заключается в приведении уравнения в частных производных к семейству обыкновенных дифференциальных уравнений.

Для этого требуется найти кривые (именуемые характеристиками), вдоль которых уравнение в частных производных превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение. Как только найдены обыкновенные дифференциальные уравнения, их можно решить вдоль характеристик и найденное решение превратить в решение исходного уравнения в частных производных.

Примеры

Квазилинейное уравнение на плоскости

Рассмотрим следующее квазилинейное уравнение относительно неизвестной функции $u(x,y)$

$a(x,y,u)\cdot u_{x}+b(x,y,u)\cdot u_{y}=c(x,y,u).$

Рассмотрим поверхность $z=u(x,y)$ в $\mathbb {R} ^{3}$. Нормаль к этой поверхности задается выражением

$(u_{x}(x,y),u_{y}(x,y),-1).$

В результате получим, что уравнение эквивалентно геометрическому утверждению о том, что векторное поле

$(a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z))$

является касательным к поверхности $z=u(x,y)$ в каждой точке.

В этом случае уравнения характеристик могут быть записаны в виде:

${\frac {dx}{a(x,y,z)}}={\frac {dy}{b(x,y,z)}}={\frac {dz}{c(x,y,z)}},$

или же, если x(t), y(t), z(t) суть функции параметра t:

${\begin{array}{rcl}{\frac {dx}{dt}}&=&a(x,y,z)\\{\frac {dy}{dt}}&=&b(x,y,z)\\{\frac {dz}{dt}}&=&c(x,y,z).\end{array}}$

То есть поверхность $z=u(x,y)$ образована однопараметрическим семейством описанных кривых. Такая поверхность полностью задаётся одной кривой на ней трансверсальной к векторному полю $(a,b,c)$.

Уравнение переноса

Рассмотрим частный случай уравнения выше, так называемое уравнение переноса (возникает при решении задачи о свободном расширении газа в пустоту):

$a\cdot u_{x}+u_{t}=0$

где $a$ постоянная, а $u$ — функция переменных $x$ и $t$.

Нам бы хотелось свести это дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка к обыкновенному дифференциальному уравнению вдоль соответствующей кривой, то есть получить уравнение вида

${\frac {d}{ds}}u(x(s),t(s))=F(u,x(s),t(s))$,

где $(x(s),t(s))$ — характеристика.

Вначале мы устанавливаем

${\frac {d}{ds}}u(x(s),t(s))={\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {dx}{ds}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}{\frac {dt}{ds}}$

Теперь, если положить ${\frac {dx}{ds}}=a$ и ${\frac {dt}{ds}}=1$, получим

$a{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}$, что является левой частью уравнения переноса, с которого мы начали. Таким образом,

${\frac {d}{ds}}u=a{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}=0.$

Как видно, вдоль характеристики $(x(s),t(s))$ исходное уравнение превращается в ОДУ $u_{s}=F(u,x(s),t(s))=0$, которое говорит о том, что вдоль характеристик решение постоянное. Таким образом, $u(x_{s},t_{s})=u(x_{0},0)$, где точки $(x_{s},t_{s})$ и $(x_{0},0)$ лежат на одной характеристике. Видно, что для нахождения общего решения достаточно найти характеристики уравнения, решая следующую систему ОДУ:

• ${\frac {dt}{ds}}=1$, при $t(0)=0$ решение — $t=s$,
• ${\frac {dx}{ds}}=a$, при $x(0)=x_{0}$ решение — $x=as+x_{0}=at+x_{0}$,
• ${\frac {du}{ds}}=0$, при $u(0)=f(x_{0})$ решение — $u(x(t),t)=f(x_{0})=f(x-at)$.

В нашем случае, характеристики — это семейство прямых с наклоном $a$, и решение $u$ остается постоянным вдоль каждой из характеристик.

Постановка задачи Коши

Для выбора частного решения из общего необходимо поставить задачу Коши, как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений. Начальное условие задается на начальной гиперповерхности S:

$u|_{S}=f(x)$

В общем случае почти невозможно сформулировать условие глобальной разрешимости задачи Коши, однако если ограничиться условием локальной разрешимости, можно воспользоваться следующей теоремой:

Решение задачи Коши в окрестности точки $x_{0}\in S$ существует и единственно, если проходящая через $x_{0}$ характеристика трансверсальна поверхности S

Литература

• Courant, Richard; Hilbert, David (1962), Methods of Mathematical Physics, Volume II, Wiley-Interscience
• Delgado, Manuel (1997), "The Lagrange-Charpit Method", SIAM Review, 39 (2): 298—304, Bibcode:1997SIAMR..39..298D, doi:10.1137/S0036144595293534, JSTOR 2133111
• Evans, Lawrence C. (1998), Partial Differential Equations, Providence: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2
• John, Fritz (1991), Partial differential equations (4th ed.), Springer, ISBN 978-0-387-90609-6
• Polyanin, A. D.; Zaitsev, V. F.; Moussiaux, A. (2002), Handbook of First Order Partial Differential Equations, London: Taylor & Francis, ISBN 0-415-27267-X
• Polyanin, A. D. (2002), Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, ISBN 1-58488-299-9
• Sarra, Scott (2003), "The Method of Characteristics with applications to Conservation Laws", Journal of Online Mathematics and its Applications.
• Streeter, VL; Wylie, EB (1998), Fluid mechanics (International 9th Revised ed.), McGraw-Hill Higher Education