Метрика Леви — Прохорова

Метрика Леви — Прохорова (метрика Прохорова) — метрика на пространстве конечных вероятностных мер; введена в 1956 году Юрием Прохоровым в качестве обобщения метрики Леви (определённой Полем Леви в 1937 году).

Определяется на пространстве ${\mathcal {P}}(M)$ всех конечных вероятностных мер на измеримом пространстве $(M,{\mathcal {B}}(M))$, где $(M,d)$ — метрическое пространство, а ${\mathcal {B}}(M)$ — борелевская сигма-алгебра на нём. Для подмножества $A\subseteq M$ определяется эпсилон-окрестность $A$ как:

$A^{\varepsilon }:=\{p\in M\mid \exists q\in A,\ d(p,q)<\varepsilon \}=\bigcup _{p\in A}B_{\varepsilon }(p)$,

где $B_{\varepsilon }(p)$ — открытый шар радиусом $\varepsilon$ с центром в $p$. Метрика $\pi :{\mathcal {P}}(M)^{2}\to [0,+\infty )$ определяется установлением расстояния между двумя вероятностными мерами $\mu$ и $\nu$ как:

$\pi (\mu ,\nu ):=\inf \left\{\varepsilon >0\mid \forall (A\in {\mathcal {B}}(M))\,\mu (A)\leqslant \nu (A^{\varepsilon })+\varepsilon \ \wedge \ \nu (A)\leqslant \mu (A^{\varepsilon })+\varepsilon \right\}$.

Очевидно, что для вероятностных мер $\pi (\mu ,\nu )\leqslant 1$.

Свойства

Если пространство $(M,d)$ является сепарабельным, то схождение мер в метрике Леви — Прохорова эквивалентно слабой сходимости мер. Таким образом, $\pi$ — это метризация топологии слабой сходимости вероятности на ${\mathcal {P}}(M)$.

Метрическое пространство $\left({\mathcal {P}}(M),\pi \right)$ является сепарабельным тогда и только тогда когда $(M,d)$ сепарабельно.

Если пространство $\left({\mathcal {P}}(M),\pi \right)$ является полным, то $(M,d)$ также является полным пространством. Если у всех мер в ${\mathcal {P}}(M)$ есть сепарабельный носитель меры, то обратное утверждение также верно: если $(M,d)$ — полное, то $\left({\mathcal {P}}(M),\pi \right)$ — полное. В частности, это тот случай, когда $(M,d)$ является сепарабельным.

Если $(M,d)$ сепарабельное и полное, подмножество ${\mathcal {K}}\subseteq {\mathcal {P}}(M)$ является относительно компактным пространством тогда и только тогда, когда $\pi$-замыкание является $\pi$-компактным.

Если $(M,d)$ сепарабельное, то $\pi (\mu ,\nu )=\inf\{\alpha (X,Y)\mid {\text{Law}}(X)=\mu ,{\text{Law}}(Y)=\nu \}$, где $\alpha (X,Y)=\inf\{\varepsilon >0\mid \mathbb {P} (d(X,Y)>\varepsilon )\leqslant \varepsilon \}$ — метрика Ци Фаня.

Литература

• Леви — Прохорова метрика — статья из Математической энциклопедии. В. М. Золотарёв
• Patrick Billingsley. Convergence of Probability Measures. — N. Y.: John Wiley & Sons, 1999. — ISBN 0-471-19745-9.
• R. M. Dudley. Real analysis and probability. — Pacific Grove, Calif.: Wadsworth & Brooks/Cole, 1989. — ISBN 0-534-10050-3.
• Svetlozar T. Račev. Probability metrics and the stability of stochastic models. — Chichester: Wiley, 1991. — ISBN 0-471-92877-1.