Минимальный многочлен алгебраического элемента

Минимальный многочлен в теории полей — конструкция, определяемая для алгебраического элемента: многочлен, которому кратны все многочлены, корнем которых является данный элемент.

Минимальные многочлены используются при изучении расширений полей. Если задано расширение $E\supsetneq K$ и элемент $\alpha \in E$, алгебраический над $K$, то минимальное подполе $E$, содержащее $K$ и $\alpha$, изоморфно факторкольцу $K[x]/(f(x))$, где $K[x]$ — кольцо многочленов с коэффициентами в $K$, а $(f(x))$ — главный идеал, порождённый минимальным многочленом $\alpha$. Также понятие минимального многочлена используется при определении сопряжённых элементов.

Определение

Пусть $E\supsetneq K$ — расширение поля, $\alpha \in E$ — элемент, алгебраический над $K$. Рассмотрим множество многочленов $f(x)\in K[x]$, таких что $f(\alpha )=0$. Это множество образует идеал в кольце многочленов $K[x]$. Действительно, если $f(\alpha )=0,g(\alpha )=0$, то $(f+g)(\alpha )=0$, и для любого многочлена $h(x)\in K[x]$ $(f\cdot h)(\alpha )=0$. Этот идеал ненулевой, так как по предположению элемент $\alpha$ алгебраичен; поскольку $K[x]$ — область главных идеалов, этот идеал главный, то есть порождается некоторым многочленом $f(x)$. Такой многочлен определён с точностью до умножения на обратимый элемент поля; накладывая дополнительное требование, чтобы старший коэффициент $f(x)$ был равен единице, то есть чтобы $f(x)$ был приведённым многочленом, получается однозначное сопоставление произвольному алгебраическому элементу $\alpha$ из данного расширения многочлена, который и называется минимальным многочленом $\alpha$. Из определения следует, что любой минимальный многочлен является неприводимым в $K[x]$.

Примеры

• Пусть $K=\mathbb {Q} ,E=\mathbb {R} ,\alpha ={\sqrt {2}}$. Тогда минимальный многочлен числа $\alpha$ — это $x^{2}-2$. Если же мы возьмём $K=\mathbb {R}$, то минимальный многочлен равен $x-{\sqrt {2}}$.
• $K=\mathbb {Q} ,E=\mathbb {R} ,\alpha ={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$. Минимальный многочлен $\alpha$ — это $x^{4}-10x^{2}+1$.
• $K=\mathbb {Q} ,E=\mathbb {R} ,\alpha ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{3}]{1-{\sqrt {2}}}}.$ Минимальный многочлен $\alpha$ равен $x^{3}+3x-2.$
• Аналогичный для $\alpha ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt {2}}}}-{\sqrt[{3}]{1-{\sqrt {2}}}}$ многочлен равен $(x^{3}-3x-2{\sqrt {2}})(x^{3}-3x+2{\sqrt {2}})=x^{6}-6x^{4}+9x^{2}-8.$

Сопряжённые элементы

Запрос «Сопряжённый элемент (теория полей)»^[d] перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

Сопряжённые элементы алгебраического элемента $\alpha$ над полем $K$ — это все (остальные) корни минимального многочлена $\alpha$.

Свойства

Пусть $E\supsetneq K$ — нормальное расширение с группой автоморфизмов $G$, $\alpha \in E$. Тогда для любого $g\in G$ — $g(\alpha )$ является сопряжённым к $\alpha$, так как любой автоморфизм переводит корни данного многочлена из $K[x]$ снова в корни. Обратно, любой элемент $\beta$, сопряжённый к $\alpha$, имеет такой вид: это значит, что группа $G$ действует транзитивно на множестве сопряжённых элементов. Следовательно, по неприводимости минимального многочлена, $K(\alpha )$ K-изоморфно $K(\beta )$. Следовательно, отношение сопряжённости симметрично.

Теорема Кронекера утверждает, что любое алгебраическое целое число, такое что его модуль и модуль всех сопряжённых ему в поле комплексных чисел равен 1, является корнем из единицы.

Примечания

• Minimal polynomial (англ.) на сайте PlanetMath.
• Weisstein, Eric W. Conjugate Elements на сайте Wolfram MathWorld.
• Pinter, Charles C. A Book of Abstract Algebra. Dover Books on Mathematics Series. Dover Publications, 2010, p. 270—273. — ISBN 978-0-486-47417-5