Многочлены Кравчука (М. Ф. Кравчук, 1929) относятся к классическим ортогональным полиномам дискретной переменной на равномерной сетке, для которых соотношение ортогональности представляет собой не интеграл, а ряд или конечную сумму:
.
Многочлены Кравчука |
Формула |
|
Скалярное произведение |
. |
Область определения |
|
Названы в честь |
Кравчук, Михаил Филиппович |
Здесь — весовая функция, — квадратичная норма, . Для весовая функция с точностью до постоянного множителя сводится к биномиальному коэффициенту.
Рекуррентное соотношение для этих многочленов имеет вид
.
Путём несложных преобразований его можно привести к форме
,
где
Многочлены Кравчука могут быть выражены через гипергеометрическую функцию Гаусса:
В пределе при многочлены Кравчука переходят в многочлены Эрмита:
Первые четыре полинома для простейшего случая :