Модифицированное (смещённое) Z-преобразование — более общий случай обычного Z-преобразования , содержащее идеальное запаздывание величиной, кратной частоте дискретизации . Математически записывается как:
F
(
z
,
m
)
=
∑
k
=
0
∞
f
(
k
T
+
m
)
z
−
k
{\displaystyle F(z,m)=\sum _{k=0}^{\infty }f(kT+m)z^{-k}}
где
T — период дискретизацииm («параметр смещения») — часть периода дискретизации
[
0
,
T
)
.
{\displaystyle [0,T).}
Модифицированное Z-преобразование широко применяется в теории управления в частности для более точного моделирования систем с задержками.
Если параметр смещения m фиксирован, тогда все свойства модифицированного z-преобразования совпадают со свойствами обычного Z-преобразования.
Z
[
∑
k
=
1
n
c
k
f
k
(
t
)
]
=
∑
k
=
1
n
c
k
F
(
z
,
m
)
.
{\displaystyle Z\left[\sum _{k=1}^{n}c_{k}f_{k}(t)\right]=\sum _{k=1}^{n}c_{k}F(z,m).}
Сдвиг по времени
править
Z
[
u
(
t
−
n
T
)
f
(
t
−
n
T
)
]
=
z
−
n
F
(
z
,
m
)
.
{\displaystyle Z\left[u(t-nT)f(t-nT)\right]=z^{-n}F(z,m).}
Z
[
f
(
t
)
e
−
a
t
]
=
e
−
a
m
F
(
e
a
T
z
,
m
)
.
{\displaystyle Z\left[f(t)e^{-a\,t}\right]=e^{-a\,m}F(e^{a\,T}z,m).}
Умножение аргумента
править
Z
[
t
y
f
(
t
)
]
=
(
−
T
z
d
d
z
+
m
)
y
F
(
z
,
m
)
.
{\displaystyle Z\left[t^{y}f(t)\right]=\left(-Tz{\frac {d}{dz}}+m\right)^{y}F(z,m).}
Теорема о конечном значении
править
lim
k
=
∞
f
(
k
T
+
m
)
=
lim
k
=
1
+
F
(
z
,
m
)
.
{\displaystyle \lim _{k=\infty }f(kT+m)=\lim _{k=1+}F(z,m).}
Таблица основных преобразований
править
f(t)
F(z, m)
1 (t)
z
z
−
1
{\displaystyle {\frac {z}{z-1}}}
t
z
m
T
z
−
1
+
z
T
(
z
−
1
)
2
{\displaystyle {\frac {zmT}{z-1}}+{\frac {zT}{(z-1)^{2}}}}
e-at
z
e
−
a
m
T
z
−
e
−
a
T
{\displaystyle {\frac {ze^{-amT}}{z-e^{-aT}}}}
1 — e-at
z
z
−
1
−
z
e
−
a
m
T
z
−
e
−
a
T
{\displaystyle {\frac {z}{z-1}}-{\frac {ze^{-amT}}{z-e^{-aT}}}}
sin ωt
z
2
sin
(
m
ω
T
)
+
z
sin
[
(
1
−
m
)
ω
T
]
z
2
−
2
z
cos
ω
T
+
1
{\displaystyle {\frac {z^{2}\sin {(m\omega T)}+z\sin {[(1-m)\omega T]}}{z^{2}-2z\cos {\omega T}+1}}}
Пусть оригинал для преобразования
f
(
t
)
=
cos
(
ω
t
)
{\displaystyle f(t)=\cos(\omega t)}
F
(
z
,
m
)
=
Z
[
cos
(
ω
(
k
T
+
m
)
)
]
{\displaystyle F(z,m)=Z\left[\cos \left(\omega \left(kT+m\right)\right)\right]}
F
(
z
,
m
)
=
Z
[
cos
(
ω
k
T
)
cos
(
ω
m
)
−
sin
(
ω
k
T
)
sin
(
ω
m
)
]
{\displaystyle F(z,m)=Z\left[\cos(\omega kT)\cos(\omega m)-\sin(\omega kT)\sin(\omega m)\right]}
F
(
z
,
m
)
=
cos
(
ω
m
)
Z
[
cos
(
ω
k
T
)
]
−
sin
(
ω
m
)
Z
[
sin
(
ω
k
T
)
]
{\displaystyle F(z,m)=\cos(\omega m)Z\left[\cos(\omega kT)\right]-\sin(\omega m)Z\left[\sin(\omega kT)\right]}
F
(
z
,
m
)
=
cos
(
ω
m
)
z
(
z
−
cos
(
ω
T
)
)
z
2
−
2
z
cos
(
ω
T
)
+
1
−
sin
(
ω
m
)
z
sin
(
ω
T
)
z
2
−
2
z
cos
(
ω
T
)
+
1
{\displaystyle F(z,m)=\cos(\omega m){\frac {z\left(z-\cos(\omega T)\right)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}-\sin(\omega m){\frac {z\sin(\omega T)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}}
F
(
z
,
m
)
=
z
2
cos
(
ω
m
)
−
z
cos
(
ω
(
T
−
m
)
)
z
2
−
2
z
cos
(
ω
T
)
+
1
.
{\displaystyle F(z,m)={\frac {z^{2}\cos(\omega m)-z\cos(\omega (T-m))}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}.}
Если
m
=
0
{\displaystyle m=0}
F
(
z
,
m
)
{\displaystyle F(z,m)}
F
(
z
,
0
)
=
z
2
−
z
cos
(
ω
T
)
z
2
−
2
z
cos
(
ω
T
)
+
1
{\displaystyle F(z,0)={\frac {z^{2}-z\cos(\omega T)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}}
![{\displaystyle Z\left[\sum _{k=1}^{n}c_{k}f_{k}(t)\right]=\sum _{k=1}^{n}c_{k}F(z,m).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed1a898fdecd751939df486e57c711800bfc52ef)
![{\displaystyle Z\left[u(t-nT)f(t-nT)\right]=z^{-n}F(z,m).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25a2e13ad79318a8d8787e738817c372a6122d53)
![{\displaystyle Z\left[f(t)e^{-a\,t}\right]=e^{-a\,m}F(e^{a\,T}z,m).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb734c6c1932d5d7939212e5e25bb8a9b9740d41)
![{\displaystyle Z\left[t^{y}f(t)\right]=\left(-Tz{\frac {d}{dz}}+m\right)^{y}F(z,m).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98deb6d6979b8bbddd256c7c1b129e27f79164a8)
![{\displaystyle {\frac {z^{2}\sin {(m\omega T)}+z\sin {[(1-m)\omega T]}}{z^{2}-2z\cos {\omega T}+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06d0df712ff3700b55103af49a520b9e68905c86)
![{\displaystyle F(z,m)=Z\left[\cos \left(\omega \left(kT+m\right)\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26c7b515ce7a27f7919ba1915c293a397f0fdc88)
![{\displaystyle F(z,m)=Z\left[\cos(\omega kT)\cos(\omega m)-\sin(\omega kT)\sin(\omega m)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2caa4618bfec763cf1666fa5c092f4258663f9f0)
![{\displaystyle F(z,m)=\cos(\omega m)Z\left[\cos(\omega kT)\right]-\sin(\omega m)Z\left[\sin(\omega kT)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1f57d62ed1048ede83f55e265ac717c5bf6af83)
