Монотонный оператор

Монотонный оператор — оператор, удовлетворяющий условию монотонности. Понятие монотонного оператора является обобщением понятия монотонной функции. Широко применяется в функциональном анализе при исследовании и приближённом решении краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными.

Определение

Пусть $X$ — линейное топологическое пространство, $u,v$ — произвольные элементы $u,v\in X$. Обозначим $\langle u,v\rangle$ скалярное произведение элементов $u,v$, $\|.\|$ — норма в пространстве $X$. Оператор $A\in (X\to X^{*})$ называется:

• монотонным, если $\langle Au-Av,u-v\rangle \geqslant 0$;
• строго монотонным, если $\langle Au-Av,u-v\rangle >0$ для $u\neq v$;
• d - монотонным, если $\langle Au-Av,u-v\rangle \geqslant (\alpha (\|u\|)-\alpha (\|v\|))(\|u\|-\|v\|)$ для некоторой строго возрастающей функции $\alpha$ на $\left[0,\infty \right)$;
• равномерно монотонным, если $\langle Au-Av,u-v\rangle \geqslant \rho (\|u-v\|)$ для некоторой строго возрастающей функции $\rho$ на $\left[0,\infty \right)$ с $\rho (0)=0$;
• сильно монотонным (c постоянной монотонности m), если $\langle Au-Av,u-v\rangle \geqslant m\|u-v\|^{2}$, $m>0$;
• радиально непрерывным, если при любых фиксированных $u,v\in X$ вещественная функция $s\to \langle A(u+sv),v\rangle$ непрерывна на $\left[0,1\right]$;
• коэрцитивным, если существует определённая на $\left[0,\infty \right)$ вещественная функция $\gamma$ с $\lim _{s\to \infty }=+\infty$, такая, что $\langle Au,u\rangle \geqslant \gamma (\|u\|)\|u\|$.

Термин Монотонный оператор впервые ввел Вайнберг М. М.

Основная теорема теории монотонных операторов

Пусть $A\in (X\to X^{*})$ — радиально непрерывный монотонный коэрцитивный оператор. Тогда множество решений уравнения $Au=f$ при любом $f\in X*$ непусто, слабо замкнуто и выпукло.

Литература

• Гаевский Х., Грёгер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. — М.: Мир, 1978. — 336 с.
• Вайнберг М. М. Вариационный метод и метод монтонных операторов в теории нелинейных уравнений. — М.: Наука, 1972. — 416 с.