Необходимое условие сходимости рядов

Необходимое условие сходимости ряда (Необходимый признак сходимости ряда):

Для сходимости ряда $\sum a_{k}$ необходимо, чтобы последовательность $(a_{k})$ была бесконечно малой.

Доказательство

Пусть исходный ряд сходится (последовательность частичных сумм имеет конечный предел). По условию последовательности частичных сумм $(s_{k})$ и $(s_{k+1})$ имеют общий конечный предел $s$, но $|a_{k+1}|=|\,s_{k+1}-\,s_{k}|$, а потому $|a_{k+1}|\rightarrow 0$, что равносильно бесконечной малости $(a_{k})$.

Замечание

Данный признак является только необходимым, но не достаточным, то есть из того, что $(a_{k})\rightarrow 0$ не следует, что ряд сходится.

Так, гармонический ряд $1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+...+{\frac {1}{n}}+...$ расходится, хотя необходимое условие сходимости ряда для него выполняется.

Литература

• Богданов Ю. С. — Лекции по математическому анализу — Часть 2 — Минск: Издательство БГУ — 1978.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — Т. 2. — 800 с.