Неравенство Бишопа — Громова
Неравенство Бишопа — Громова — теорема сравнения в римановой геометрии. Является ключевым утверждением в доказательстве теоремы Громова о компактности[1].
Неравенство названо в честь Ричарда Бишопа и Михаила Громова.
Формулировка править
Пусть — полное n-мерное риманово многообразие с ограниченной снизу кривизной Риччи, то есть
для постоянной .
Обозначим через шар радиуса r вокруг точки p, определенный по отношению к римановой функции расстояния.
Пусть обозначает n-мерное модельное пространство. То есть — полное n-мерное односвязное пространство постоянной секционной кривизны . Таким образом,
- является n-сферой радиуса , если , или
- n-мерным евклидовым пространством, если , или
- пространством Лобачевского с кривизной .
Тогда для любых и функция
не возрастает в интервале .
Замечания править
- При неравенство можно записать следующим образом
- при .
- Если r стремится к нулю, то соотношение приближается к единице, так что вместе с монотонностью это означает, что
См. также править
Примечания править
- ↑ Бураго Ю. Д., Залгаллер В. А., Введение в риманову геометрию 1991, с. 320, (22.5)
- ↑ Bishop, R. A relation between volume, mean curvature, and diameter. Amer. Math. Soc. Not. 10 (1963), p. 364.
- ↑ Bishop R.L., Crittenden R.J. Geometry of manifolds, Corollary 4, p. 256