Обратный оператор

Обратный оператор к оператору $A$ — оператор, который каждому $y$ из множества значений ${\mbox{Im}}\,A$ оператора $A$ ставит в соответствие единственный элемент $x$ из области определения ${\mathcal {D}}(A)$ оператора $A$, являющийся решением уравнения $Ax=y$. Если оператор $A$ имеет обратный, то есть уравнение $Ax=y$ имеет единственное решение при любом $y$ из ${\mbox{Im}}\,A$, то $A$ называется обратимым. Обратный оператор обозначается $A^{-1}$.

Если A отображает X на Y, то A⁻¹ отображает Y на X

Определение и условия существования

Другое определение: оператор $B$ называется обратным к оператору $A$, если $BA=I,\,AB=I$, где $I$ — единичный оператор. Если выполняется только соотношение $BA=I$ или только $AB=I,$ то оператор $B$ называется левым обратным или правым обратным соответственно. Если оператор $A$ имеет левый обратный и правый обратный, то они равны между собой, а оператор $A$ является обратимым. Если обратный оператор существует, он определяется единственным образом.

Оператор $A$ обратим, если он отображает ${\mathcal {D}}(A)$ на ${\mbox{Im}}\,A$ взаимно однозначно, то есть при различных $x\in {\mathcal {D}}(A)$ принимает различные значения $y$. Если оператор $A$ — линейный, то для существования обратного оператора достаточно, чтобы $Ax=0$ выполнялось только при $x=0$.

Линейный оператор (даже ограниченный) может иметь обратный, определённый не на всём пространстве. Например, в пространстве $\ell _{2}$ линейный оператор

$A(x_{1},x_{2},x_{3},\dots )=(0,x_{1},x_{2},\dots )$

имеет обратный, который определен для векторов с первой координатой равной нулю: $x_{1}=0$.

Свойства

• $(A^{-1})^{-1}=A.$
• $(A_{1}A_{2})^{-1}=A_{2}^{-1}A_{1}^{-1}.$
• Оператор $A^{-1}$, обратный к линейному оператору, также линеен.
• $(A^{-1})^{*}=(A^{*})^{-1}$, $A^{*}$ — сопряжённый оператор.

Теоремы об обратном операторе

Теорема Банаха

Основная статья: Теорема Банаха об обратном операторе

Пусть $A$ — линейный ограниченный оператор, взаимно однозначно отображающий банахово пространство $E$ на банахово пространство $E_{1}$. Тогда обратный оператор $A^{-1}$ ограничен.

Теорема Банаха является одним из основных принципов линейного анализа. Из неё следует теорема об открытом отображении: линейное непрерывное отображение $A$ банахова пространства $E$ на (всё) банахово пространство $E_{1}$ открыто.

Достаточные условия существования обратного оператора

• Пусть линейный оператор $A$, отображающий линейное нормированное пространство $E$ на линейное нормированное пространство $E_{1}$, удовлетворяет для любого $x\in E$ условию

$\|Ax\|\geq m\|x\|,$

где $m>0$ — некоторая константа. Тогда существует обратный ограниченный линейный оператор $A^{-1}$.

• Пусть $A$ — линейный ограниченный обратимый оператор, действующий из банахова пространства $E$ в банахово пространство $E_{1}$ и $\Delta A$ — линейный ограниченный оператор из $E$ в $E_{1}$ такой, что $\|\Delta A\|<1/\|A^{-1}\|$. Тогда оператор $B=A+\Delta A$ имеет ограниченный обратный, причём

$\|B^{-1}-A^{-1}\|\leq {\frac {\|\Delta A\|}{1-\|A^{-1}\|\|\Delta A\|}}\|A^{-1}\|^{2}$.

• Пусть $E$ — банахово пространство, $I$ — тождественный оператор в $E$, а $A$ — такой линейный ограниченный оператор, отображающий $E$ в себя, что $\|A\|<1$. Тогда оператор $(I-A)^{-1}$ существует, ограничен и представляется в виде ряда

$(I-A)^{-1}=\sum \limits _{k=0}^{\infty }A^{k}$.

Примеры

Преобразование Фурье

Основная статья: Преобразование Фурье

$g(\lambda )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\lambda t}dt$

можно рассматривать как линейный ограниченный оператор, действующим из пространства $L_{2}(-\infty ,\infty )$ в себя. Обратным оператором для него является обратное преобразование Фурье

$f(t)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }g(\lambda )e^{i\lambda t}d\lambda$.

Операторы интегрирования и дифференцирования

Для оператора интегрирования

$Ax=\int \limits _{0}^{t}x(\tau )\,d\tau ,$

действующего в пространстве непрерывных функций $C[0,1]$, обратным будет оператор дифференцирования:

$A^{-1}y={\frac {d}{dt}}y(t),$

определённый на линейном многообразии непрерывно дифференцируемых функций, таких что $y(0)=0$.

Оператор Штурма-Лиувилля

Для дифференциального оператора Штурма-Лиувилля $Ax={\frac {d}{dt}}\left\{p(t){\frac {dx}{dt}}\right\}+q(t)x,$ определённого на линейном многообразии дважды непрерывно дифференцируемых функций таких, что $x(0)=x(1)=0$, обратным оператором является интегральный оператор

$A^{-1}y=\int \limits _{0}^{1}G(t,\tau )y(\tau )\,d\tau ,$

где $G(t,\tau )$ — функция Грина. $A^{-1}$ — линейный ограниченный оператор в $C[0,1]$.

Интегральный оператор

Пусть

$Ax=\int \limits _{0}^{1}K(t,s)x(s)\,ds$

— интегральный оператор в пространстве непрерывных функций $C[0,1]$. При достаточно малых значениях параметра $\lambda$ оператор $(I-\lambda A)$ (где $I$ — единичный оператор) имеет ограниченный обратный

$(I-\lambda A)^{-1}y=y(t)+\lambda \int \limits _{0}^{1}R(t,s,\lambda )y(s)\,ds$,

где $R(t,s,\lambda )$ — резольвента ядра $K(t,s)$. Зная резольвенту, можно найти решение интегрального уравнения

$x(t)=y(t)+\lambda \int \limits _{0}^{1}K(t,s)x(s)\,ds$

при любом свободном члене $y(t)$.

Обратный оператор в конечномерном пространстве

Оператор в конечномерном пространстве обратим тогда и только тогда, когда его ранг совпадает с размерностью пространства. Иначе говоря, определитель его матрицы отличен от нуля. Обратному оператору отвечает обратная матрица.

См. также

• Линейное отображение
• Обратная функция
• Изоморфизм
• Банахово пространство
• Линейный непрерывный оператор

Литература

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит.. — М., 1976.
• Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. — Изд. 2-е, перераб.. — М.: Наука, 1965. — 520 с.
• Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. — М.: Мир, 1979. — 592 с.
• Соболев В. И. Обратное отображение // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3: Коо — Од. — 1184 стб. : ил. — 150 000 экз.