Обсуждение:Квантор

Untitled

Переместите пожалуйста "введение в понятие" вниз, так как сейчас оно выше определения слова...--Tookser 15:52, 19 октября 2010 (UTC)

• ВП:Правьте смело (особенно если инфа - c ВП:АИ). Fractaler 12:55, 20 октября 2010 (UTC)

О качестве статьи «Квантор»

С моей точки зрения, статья «Квантор» в своём нынешнем виде удовлетворяет не только духовным потребностям россиян (то есть лиц, которые принадлежат множеству «многонациональный народ Российской Федерации», упоминаемому в конституции РФ), но и духовным потребностям советских людей (то есть лиц, которые принадлежат множеству «советский народ», упоминаемому в последней конституции СССР).

Вместе с тем, я предполагаю, что статья «Квантор» не является нематериальным активом для Словопоклонников, то есть лиц, которые:

1) считают, что «В начале было Слово, и Слово было [связано] с Богом, и Слово было Богом.»,

2) придают исключительное значение вербальным средствам:

2.1) формулирования предупреждений об опасности,

2.2) моделирования окружающего мира,

2.3) прогнозирования событий

и т. д.,

3) отличаются от огнепоклонников, солнцепоклонников, идолопоклонников и т. д.

Примечание. Примером Словопоклонника является Чарльз Пирс - автор статьи "How to Make Our Ideas Clear" (1878)

NB. В английском предложении «In the beginning was the Word, and the Word was with God, and the Word was God.» нет ни одного имени нарицательного. [Это предложение является высказыванием, а не предикатом.]

NB. На мой взгляд:

предикат из статьи "$x$ делится на 9." правильнее сформулировать по-русски так: «Какое-то натуральное число делится на 9.»,

предикат из статьи "Простое число $x$ нечётно." правильнее сформулировать по-русски так: «Какое-то простое число нечётно.»

этого можно не делать, если авторы статьи считают, что предикаты от одной переменной невыразимы в русском языке без латинской буквы $x$.

NB. В математике кванторы появились благодаря деятельности представителей англоязычного мира (например, американца Чарльза Пирса, умершего в нищете) и представителей немецкоязычного мира (например, немца Герхарда Генцена, умершего в заключении от истощения). Представители других миров (например, арабоязычного) не упоминаются среди родоначальников кванторов.

NB. Теперь я расскажу о том, чего авторы статьи "Квантор" не нашли в "авторитетных источниках".

1. Математики, включая логиков, имеют дело с постоянными и переменными.

Примерами логических постоянных являются повествовательные предложения типа:

Девушка Саша любит юношу Мишу. $\Leftrightarrow \$Саша$\ \in \${Девушки}$\ \land \$Миша$\ \in \${Юноши}$\ \land \$ Cаша любит Мишу. $\Leftrightarrow$ The girl Sasha loves the young man Misha.

Эта девушка любит того юношу. $\Leftrightarrow \$эта девушка$\ \in \${Девушки}$\ \land \$тот юноша$\ \in \${Юноши}$\ \land \$ Эта девушка любит того юношу. $\Leftrightarrow$ This girl loves that young man.

Примерами логических переменных являются повествовательные предложения типа:

Какая-то девушка любит юношу Мишу. $\Leftrightarrow \ x\ \in \${Девушки}$\ \land \$Миша$\ \in \${Юноши}$\ \land \ x$ любит Мишу$.\Leftrightarrow \ x\ \in \${Девушки}$\ \land \ x$ любит юношу Мишу.

A girl loves the young man Misha. $\Leftrightarrow \{x\}\subset \${Girls}$\ \land \ 2\leqslant \$|{Girls}|$\ \leqslant \aleph _{0}\land x$ loves the young man Misha.

Девушка Саша любит какого-то юношу. $\Leftrightarrow \$Саша$\ \in \${Девушки}$\ \land \ y\ \in \${Юноши}$\ \land \$ Cаша любит $y.\Leftrightarrow y\in${Юноши}$\ \land \$девушка Cаша любит $y.$

The girl Sasha loves a young man. $\Leftrightarrow \{y\}\subset \${Young men}$\ \land \ 2\leqslant \$|{Young men}|$\ \leqslant \aleph _{0}\ \land \$the girl Sasha loves $y.$

Какая-то девушка любит какого-то юношу. $\Leftrightarrow \ x\ \in \${Девушки}$\ \land \ y\ \in \${Юноши}$\ \land \ x$ любит $y.$

A girl loves a young man. $\Leftrightarrow \{x\}\subset \${Girls}$\ \land \ 2\leqslant \$|{Girls}|$\ \leqslant \aleph _{0}\ \land \ \{y\}\subset \${Young men}$\ \land \ 2\leqslant \$|{Young men}|$\ \leqslant \aleph _{0}\ \land \ x$ loves $y.$

2, Логики называют вышеуказанные логические постоянные высказываниями, а вышеуказанные логические переменные предикатами.

3. В каждом предикате есть по меньшей мере один аргумент (например, по имени $x$), благодаря которому мы воспринимаем предикат как предложение с хотя бы одним именем нарицательным. Зато в каждом высказывании нет ни одного аргумента, вследствие чего мы воспринимаем высказывание как предложение, в котором нет ни одного имени нарицательного.

4. Если предикат содержит $n$ аргументов ($n\in {\mathbb {N} }\setminus \{0\}$). тогда естественно возникают следующие два вопроса:

4.1) можно ли преобразовать предикат с $n$ аргументами в предикат с $n-1$ аргументами?,

4.2) как можно преобразовать предикат с $n$ аргументами в предикат с $n-1$ аргументами?

5. Ответ на вопрос 4.1 утвердительный, то есть любой предикат с $n$ аргументами можно преобразовать в предикат с $n-1$ аргументами. Поясним сказанное на примере с предикатом "A girl loves a young man.", в котором фигурируют два имени нарицательных "a girl" и "a young man". Заменяя один из неопределённых артиклей "а" (например, второй) на определённый артикль "the", мы получаем предикат "A girl loves the young man.", в котором осталось только одно имя нарицательное "a girl".

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Квантификацией называется операция преобразования предиката с $n$ аргументами в предикат с $n-1$ аргументами, где $n\in {\mathbb {N} }\setminus \{0\}$.

6. Чтобы получить ответ на вопрос 4.2 с точки зрения англичанина, рассмотрим вначале примеры квантификации английского предиката "A girl loves a young man." [с двумя аргументами в предикаты с одним аргументом]. Имеем:

A girl loves a young man. $\mapsto$ A girl loves the young man.

A girl loves a young man. $\mapsto$ A girl loves that young man.

A girl loves a young man. $\mapsto$ A girl loves some young man.

A girl loves a young man. $\mapsto$ A girl loves any young man.

A girl loves a young man. $\mapsto$ A girl loves at least one young man.

A girl loves a young man. $\mapsto$ A girl loves at most one young man.

A girl loves a young man. $\mapsto$ A girl loves only one young man.

Из этих примеров видно, что англичане квантифицируют английские предикаты со служебным словом "а", заменяя его на служебные слова "the", "that", "some", "any", "at least one", "at most one", "only one" и т. п.

Примечание: Видимо, английский мыслитель Томас Гоббс называл упомянутые служебные слова "частями имён".

Примечание: Кроме того, англичане могут квантифицировать предложение "A girl loves a young man." неявным образом, а именно:

A girl loves a young man. $\mapsto$ There is a young man who is loved by a girl.

7. Чтобы получить ответ на вопрос 4.2 с точки зрения математика, дадим определение понятию "квантор".

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Квантор (квантифицирующий оператор) - это оператор, который каким-то образом преобразует предикат с $n$ аргументами в предикат с $n-1$ аргументами, путём исключения [из рассмотрения] одного из аргументов во втором из упомянутых предикатов.

Если $P[x_{1},x_{2},...,x_{m-1},x_{m},x_{m+1},...x_{n}]$ - какой-то предикат с $n$ аргументами, $Q$ - какой-то квантор, $x_{m}$ - исключаемый аргумент, тогда $Qx_{m}(P[x_{1},x_{2},...,x_{m-1},x_{m},x_{m+1},...x_{n}])=R[x_{1},x_{2},...,x_{m-1},x_{m+1},...x_{n}]$, где $R[x_{1},x_{2},...,x_{m-1},x_{m+1},...x_{n}]$ - предикат с $n-1$ аргументами, среди которых нет аргумента $x_{m}$

Примеры явной квантификации предиката с двумя аргументами в предикаты с одним аргументом.

Какая-то девушка любит какого-то юношу. $\Leftrightarrow x\in \${Девушки}$\ \land \ y\in \${Юноши}$\ \land x$ любит $y.\ \mapsto$

$\mapsto \$эта девушка$\ \in \${Девушки}$\ \land \ y\in \${Юноши}$\ \land \$эта девушка любит $y.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow True\land y\in \${Юноши}$\ \land \$эта девушка любит $y.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow y\in${Юноши}$\ \land \$эта девушка любит $y.\Leftrightarrow$ Эта девушка любит какого-то юношу.

Какая-то девушка любит какого-то юношу. $\Leftrightarrow x\in \${Девушки}$\ \land \ y\in \${Юноши}$\ \land x$ любит $y.\ \mapsto$

$\mapsto \ x\ \in \${Девушки}$\ \land \ \$тот юноша$\ \in \${Юноши}$\ \land \ x$ любит того юношу.$\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x\in \${Девушки}$\ \land \ True\ \land x\$любит того юношу$\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x\in${Девушки}$\ \land \ x\$любит того юношу. $\Leftrightarrow$ Какая-то девушка любит того юношу.

Примеры неявной квантификации предиката с двумя аргументами в предикаты с одним аргументом.

Какая-то девушка любит какого-то юношу. $\Leftrightarrow x\in \${Девушки}$\ \land \ y\in \${Юноши}$\ \land x$ любит $y.\ \mapsto$

$\mapsto \exists ^{=1}y(x\ \in \${Девушки}$\ \land \ y\ \in \${Юноши}$\ \land \ x$ любит $y)\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x\ \in \${Девушки}$\ \land \ \exists ^{=1}y(y\ \in \${Юноши}$\ \land \ x$ любит $y.)\Leftrightarrow$ Какая-то девушка любит только одного юношу.

Какая-то девушка любит какого-то юношу. $\Leftrightarrow x\in \${Девушки}$\ \land \ y\in \${Юноши}$\ \land x$ любит $y.\ \mapsto$

$\mapsto \exists ^{\geqslant 1}y(x\ \in \${Девушки}$\ \land \ y\ \in \${Юноши}$\ \land \ x$ любит $y)\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x\ \in \${Девушки}$\ \land \ \exists ^{\geqslant 1}y(y\ \in \${Юноши}$\ \land \ x$ любит $y.)\Leftrightarrow$ Какая-то девушка любит хотя бы одного юношу.

8. Кванторов столько же, сколько натуральных чисел. Но каждый квантор, с помощью которого осуществляется неявная квантификация предикатов, можно записать в виде комбинации логических связок с по меньшей мере одним квантором существования $\exists$

Примеры

$\exists ^{\geqslant 1}x(P[...,x,...])\Leftrightarrow \exists x(P[...,x,...])$, где $P[...,x,...]$ - предикат со сколькими-то аргументами, включая аргумент $x$

$\exists ^{=1}x(P[...,x,...])\Leftrightarrow \exists x(P[...,x,...]\land \neg (\exists y(y\neq x\land P[...,y,...])))$,

$\exists ^{=0}x(P[...,x,...])\Leftrightarrow \neg (\exists x(P[...,x,...]))$

$\forall x(P[...,x,...])\Leftrightarrow \neg (\exists x(\neg P[...,x,...]))$

9. Недоквантификация предиката - это преобразование предиката, при котором один из его аргументов частично исключается из рассмотрения.

Примеры недоквантификации предиката с двумя аргументами.

Какая-то девушка любит какого-то юношу. $\Leftrightarrow x\in \${Девушки}$\ \land \ y\in \${Юноши}$\ \land x$ любит $y.\ \mapsto$

$\mapsto y\ \in \${Юноши}$\ \land \ x$ любит $y\Leftrightarrow$ Кой-кто или кой-что любит какого-то юношу.

Какая-то девушка любит какого-то юношу. $\Leftrightarrow x\in \${Девушки}$\ \land \ y\in \${Юноши}$\ \land x$ любит $y.\ \mapsto$

$\mapsto x\ \in \${Девушки}$\ \land \ x$ любит $y\Leftrightarrow$ Какая-то девушка любит кой-кого или кой-что.

10. Вздорная квантификация предиката - это такое преобразование предиката, при котором один из его аргументов исключается частично или полностью, но в результате этого исключения получается галиматья.

Примеры вздорной квантификации предиката с двумя аргументами.

Какая-то девушка любит какого-то юношу. $\Leftrightarrow x\in \${Девушки}$\ \land \ y\in \${Юноши}$\ \land x$ любит $y.\ \mapsto$

$\mapsto \ \in \${Девушки}$\ \land \ y\in \${Юноши}$\ \land x$ любит $y.\Leftrightarrow$ Галиматья [из-за удаления аргумента $x$ в предложении "$x\in \${девушки}"].

Какая-то девушка любит какого-то юношу. $\Leftrightarrow x\in \${Девушки}$\ \land \ y\in \${Юноши}$\ \land x$ любит $y.\ \mapsto$

$\mapsto \ \in \${Девушки}$\ \land \ y\in \${Юноши}$\ \land$ любит $y.\Leftrightarrow$ Галиматья [из-за удаления аргумента $x$ в предложениях "$x\in \${девушки}" и "$x$ любит $y$."]

NB Используя кванторы, можно понять некоторые особенности английского языка и, следовательно, англоязычного мышления.

Англичанин может преобразовать предикат с одним аргументом "A book is on the table." в высказывание по меньшей мере двумя способами. Я имею в виду следующие способы:

A book is on the table. $\Leftrightarrow \{x\}\subset \${Books}$\ \land 2\leqslant$|{Books}|$\leqslant \aleph _{0}\ \land \ x$ is on the table.$\ \mapsto$

$\mapsto$ {the book} $\ \subset \${Books}$\ \land \ 2\leqslant \$|{Books}|$\ \leqslant \aleph _{0}\ \land$ the book is on the table.$\Leftrightarrow True\ \land \ True\ \land$ the book is on the table. $\Leftrightarrow$ The book is on the table. $\Leftrightarrow$ Книга [находится] на столе.

A book is on the table. $\Leftrightarrow \{x\}\subset \${Books}$\ \land 2\leqslant$|{Books}|$\leqslant \aleph _{0}\ \land \ x$ is on the table.$\ \mapsto$

$\mapsto \exists x(\{x\}\ \subset \${Books}$\ \land \ 2\leqslant \$|{Books}|$\ \leqslant \aleph _{0}\ \land x$ is on the table.)$\Leftrightarrow$ There is a book on the table. $\Leftrightarrow$ На столе [есть] книга.

Примечание 1: Видимо, Чарльз Пирс понимал, что предикат "A book is on the table." преобразуется с помощью явной квантификации в высказывание "The book is on the table.", a c помощью неявной квантификации в высказывание "There is a book on the table."

Примечание 2: Русскоязычный переводчик мыслит не логически, а риторически ("темами" и "ремами"). Поэтому русскоязычный переводчик преобразует:

предикат "A book is on the table." и высказывание "There is a book on the table" в предложение "На столе есть книга.",

высказывание "The book is on the table." в предложение "Книга на столе." (см. English by В.Р. Гундризер, А.С. Ланда, стр. 272)

NB Используя кванторы, можно понять связь между "грамматическими числами" и натуральными числами.

Предикат "A book is on the table." можно записать иначе, а именно:

A book is on the table. $\Leftrightarrow \{x\}\subset \${Books}$\ \land 2\leqslant$|{Books}|$\leqslant \aleph _{0}\ \land \ x$ is on the table.$\ \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \{x\}\subset \${Books}$\ \land 2\leqslant$|{Books}|$\leqslant \aleph _{0}\ \land \ \forall y(y\in \{x\}\rightarrow y$ is on the table.)$\ \land \ |\{x\}|=1\ \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow X\subset \${Books}$\ \land 2\leqslant$|{Books}|$\leqslant \aleph _{0}\ \land \ \forall y(y\in X\rightarrow y$ is on the table.)$\ \land \ |X|=1$

Примечание: $|X|=1\Leftrightarrow X=\{x\}\Leftrightarrow x\in X\land \neg (\exists y(y\neq x\land y\in X))$

Примечание: A book is on the table. $\Rightarrow 2\leqslant$|{Books}|$\leqslant \aleph _{0}\ \land \ X\subseteq \{y|y\in${Books}$\ \land \ y$ is on the table.$\}\ \land \ |X|=1$

В свою очередь, предикат "Books are on the table." можно записать в виде.

Books are on the table. $\Leftrightarrow X\subset \${Books}$\ \land 2\leqslant$|{Books}|$\leqslant \aleph _{0}\ \land \ \forall y(y\in X\rightarrow y$ is on the table.)$\ \land \ |X|\geqslant 2$

Примечание: $|X|\geqslant 2\Leftrightarrow x_{1}\neq x_{2}\land \{x_{1},x_{2}\}\subseteq X\Leftrightarrow x_{1}\neq x_{2}\land x_{1}\in X\land x_{2}\in X$

Примечание: Books are on the table. $\Rightarrow 2\leqslant$|{Books}|$\leqslant \aleph _{0}\ \land \ X\subseteq \{y|y\in${Books}$\ \land \ y$ is on the table.$\}\ \land \ |X|\geqslant 2$

Примечание: Раньше в англоязычном мире множество натуральных чисел ${\mathbb {N} }$ начиналось с числа 1, но теперь это множество начинается с числа 0, то есть ${\mathbb {N} }=$ {0 (nought), 1 (one), 2 (two), 3 (three), 4 (four), ... }.

Если натуральное число $n$ предшествует имени существительному и $n=1$, тогда существительное произносится в единственном числе (например: one man, one hour).

Если натуральное число $n$ предшествует имени существительному и $n\neq 1$, тогда существительное произносится во множественном числе (например: nought men, nought hours; two men, two hours; three men, three hours).

Если имени существительному предшествует положительная правильная дробь, которая округляется сверху до натурального числа 1, тогда существительное произносится в единственном числе (например, two fifth of hour, т. к. $\lceil 2/5\rceil =1$.

Если имени существительному предшествует сумма натурального числа и положительной правильной дроби, которая округляется сверху до натурального числа, отличного от 1, тогда существительное произносится во множественном числе (например, one and two fifth hours, т. к. $\lceil 1+2/5\rceil =2\neq 1$.)

Далее, предикат "No books are on the table." можно записать в виде.

No books are on the table.$\Leftrightarrow 2\leqslant$|{Books}|$\leqslant \aleph _{0}\ \land \ \forall y(y\in X\leftrightarrow y\in \${Books}$\ \land \ y$ is on the table.)$\ \land \ |X|=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow 2\leqslant$|{Books}|$\leqslant \aleph _{0}\ \land \ X=\{y|y\in \${Books}$\ \land \ y$ is on the table.$\}\ \land \ |X|=0$

Примечание: $|X|=0\Leftrightarrow X=\varnothing \Leftrightarrow \neg (\exists x(x\in X))\Leftrightarrow \forall x(x\notin X)$

Примечание: No books are on the table.$\Leftrightarrow$ Nought books are on the table.

Примечание: Возможно, в будущем англичане будут говорить "Nought book is..." вместо "Nought books are...".

Далее, предикат "No cheese is on the table." можно записать в виде.

No cheese is on the table. $\Leftrightarrow \$ |{Cheese}|$\ >\aleph _{0}\ \land \ \forall y(y\in X\leftrightarrow y\in \${Cheese}$\ \land \ y$ is on the table.)$\ \land \ |X|=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \$ |{Cheese}|$\ >\aleph _{0}\ \land \ X=\{y|y\in \${Cheese}$\ \land \ y$ is on the table.$\}\ \land \ |X|=0$

Далее, предикат "Cheese is on the table." можно записать в виде.

Cheese is on the table. $\Leftrightarrow X\subset \${Cheese}$\ \land \$|{Cheese}|$\ >\aleph _{0}\ \land \ \forall y(y\in X\rightarrow y$ is on the table.)$\ \land \ |X|=$ |{Cheese}|

Примечание: $|X|=$ |{Cheese}| $\Rightarrow X\neq \varnothing \Leftrightarrow \exists x(x\in X)$

Примечание: Cheese is on the table. $\Rightarrow$|{Cheese}|$\ >\ \aleph _{0}\ \land \ X\subseteq \{y|y\in${Cheese}$\ \land \ y$ is on the table.$\}\ \land \ |X|=$ |{Cheese}|

Сводка

Cheese is on the table. $\Rightarrow \$ |{Cheese}|$\ >\ \aleph _{0}\ \land \ X\subseteq \{y|y\in${Cheese}$\ \land \ y$ is on the table.$\}\ \land \ |X|=$ |{Cheese}|

A book is on the table. $\Rightarrow \ 2\leqslant$|{Books}|$\leqslant \aleph _{0}\ \land \ X\subseteq \{y|y\in${Books}$\ \land \ y$ is on the table.$\}\ \land \ |X|=1$

Books are on the table. $\Rightarrow \ 2\leqslant$|{Books}|$\leqslant \aleph _{0}\ \land \ X\subseteq \{y|y\in${Books}$\ \land \ y$ is on the table.$\}\ \land \ |X|\geqslant 2$

No cheese is on the table. $\Leftrightarrow \$|{Cheese}|$\ >\ \aleph _{0}\ \land \ X=\{y|y\in${Cheese}$\ \land \ y$ is on the table.$\}\ \land \ |X|=0$

No books are on the table. $\Leftrightarrow \ 2\leqslant$|{Books}|$\leqslant \aleph _{0}\ \land \ X=\{y|y\in \${Books}$\ \land \ y$ is on the table.$\}\ \land \ |X|=0$

No unicorns are in the stable. $\Leftrightarrow \$|{Unicorns}|$=0\ \land \ X=\{y|y\in \${Unicorns}$\ \land \ y$ is in the stable.$\}\ \land \ |X|=0$

Only one moon is in the sky. $\Leftrightarrow \$|{Moons}|$=1\ \land \ X=\{y|y\in \${Moons}$\ \land \ y$ is in the sky.$\}\ \land \ |X|=1$

Для абстрактных имён существительных по аналогии можно написать следующее:

No courage is in your souls. $\Leftrightarrow \$|{Courage}| = undefined$\ \land \ X=\{y|y\in${Courage}$\ \land \ y$ is in your souls.$\}\ \land \ |X|=0$

Courage is in your souls. $\Leftrightarrow \$|{Courage}| = undefined$\ \land \ X\subseteq \{y|y\in${Courage}$\ \land \ y$ is in your souls.$\}\ \land \ |X|=$ undefined.

94.26.145.33 12:31, 24 февраля 2023 (UTC)