Обсуждение:Квантор существования

О качестве статьи "Квантор существования"

На мой взгляд, статья "Квантор существования" в её нынешнем виде удовлетворяет:

1) духовным потребностям советских людей, то есть лиц, которые принадлежат к множеству "советский народ", упоминаемому в последней конституции СССР,

2) духовным потребностям россиян, то есть лиц, которые принадлежат к множеству "многонациональный народ Российской Федерации", упоминаемому в конституции РФ.

Как разъяснить школьнику, что такое квантор существования

С моей точки зрения, школьнику можно разъяснить, что такое квантор существования, с помощью примеров.

Сначала школьнику следует сообщить, что существуют равносильные предложения. Например, русское предложение "Он любит свою мать." и английское предложение "He loves his mother." являются равносильными.

Если предложение $A$ равносильно предложению $B$, то этот факт записывают в виде: $A\Leftrightarrow B$

Примеры равносильных предложений

Он любит свою мать. $\ \Leftrightarrow \$ He loves his mother.

Какая-то девочка любит комплименты. $\ \Leftrightarrow \ x\in \{$Девочки$\}\land x$ любит комплименты.${\displaystyle }$

Девочка Саша любит комплименты. $\ \Leftrightarrow \$ Саша $\in \{$Девочки$\}\land \$Саша любит комплименты.${\displaystyle }$

Эта девочка любит комплименты. $\ \Leftrightarrow \ x_{0}\in \{$Девочки$\}\land \ x_{0}$ любит комплименты.${\displaystyle }$

Иванов знает какую-то женщину. $\ \Leftrightarrow \ x\in \{$Женщины$\}\land$ Иванов знает $x.$

Иванов знает женщину по фамилии Корейко. $\ \Leftrightarrow \$ Корейко $\in \{$Женщины$\}\ \land \$ Иванов знает Корейко.

Иванов знает эту женщину. $\ \Leftrightarrow \ x_{0}\in \{$Женщины$\}\ \land \$ Иванов знает $x_{0}$.

Какое-то натуральное число делится на два. $\ \Leftrightarrow \ x\in \{$Натуральные числа$\}\land x$ делится на два.${\displaystyle }$

Натуральное число 8 делится на два. $\ \Leftrightarrow \ 8\in \{$Натуральные числа$\}\ \land \$ 8 делится на два.

Это натуральное число делится на два. $\ \Leftrightarrow \ x_{0}\in \{$Натуральные числа$\}\ \land \ x_{0}\$делится на два.

Далее школьнику следует научиться употреблять вспомогательный квантор $\exists ^{\geqslant 1}$.

Примеры со вспомогательным квантором $\exists ^{\geqslant 1}$

1.1 Предложение "По меньшей мере одна девочка любит комплименты." можно записать в виде

$\exists ^{\geqslant 1}x(x\in \{$Девочки$\}\land x$ любит комплименты.$)$

1.2 Предложение "Иванов знает хотя бы одну женщину." можно записать в виде

$\exists ^{\geqslant 1}x(x\in \{$Женщины$\}\land$ Иванов знает $x.)$

1.3 Предложение "По крайней мере одно натуральное число делится на два." можно записать в виде

$\exists ^{\geqslant 1}x(x\in \{$Натуральные числа$\}\land x$ делится на два.$)$

1.4 Предложение "Как минимум один кит питается планктоном." можно записать в виде

$\exists ^{\geqslant 1}x(x\in \{$Киты$\}\land x$ питается планктоном.$)$

Далее школьнику следует научиться употреблять квантор существования $\exists$

Примеры с квантором $\exists$

2.1 Каждое из равносильных предложений "Есть девочка, которая любит комплименты." и "Некая девочка любит комплименты." можно записать в виде

$\exists x(x\in \{$Девочки$\}\land x$ любит комплименты.$)$

2.2 Каждое из равносильных предложений "Есть женщина, которую знает Иванов." и "Иванов знает некую женщину." можно записать в виде

$\exists x(x\in \{$Женщины$\}\land$ Иванов знает $x.)$

2.3 Каждое из равносильных предложений "Есть натуральное число, которое делится на два." и "Некое натуральное число делится на два." можно записать в виде

$\exists x(x\in \{$Натуральные числа$\}\land x$ делится на два.$)$

2.4 Каждое из равносильных предложений "Есть кит, который питается планктоном." и "Некий кит питается планктоном." можно записать в виде

$\exists x(x\in \{$Киты$\}\land x$ питается планктоном.$)$

Далее школьнику нужно сообщить, что высказывание $\exists ^{\geqslant 1}x(P[x])$ и высказывание $\exists x(P[x])$ имеют одинаковый смысл, хотя произносятся по-разному.

Примеры

3.1 $\exists ^{\geqslant 1}x(x\in \{$Девочки$\}\land x$ любит комплименты.$)\ \Leftrightarrow \ \exists x(x\in \{$Девочки$\}\land x$ любит комплименты.$)$

3.2 $\exists ^{\geqslant 1}x(x\in \{$Женщины$\}\land$ Иванов знает $x.)\ \Leftrightarrow \ \exists x(x\in \{$Женщины$\}\land$ Иванов знает $x.)$

Далее школьнику нужно сообщить, что на письме употребляются более лаконичные высказывания типа $\exists x(P[x])$, которые могут произноситься так же, как менее лаконичные высказывания типа $\exists ^{\geqslant 1}x(P[x])$

Далее школьнику нужно сообщить, что высказывания типа $\exists x(x\in X\land P[x])$ сокращённо записывают либо в виде $\exists x\in X(P[x])$, либо в виде $(\exists x\in X)P[x]$, либо в виде $\exists x\in X:P[x]$

Примеры

4.1 $\exists x(x\in \{$Девочки$\}\land x$ любит комплименты.$)\ \Leftrightarrow \ \exists x\in \{$Девочки$\}:x$ любит комплименты.

4.2 $\exists ^{\geqslant 1}x(x\in \{$Женщины$\}\land$ Иванов знает $x.)\ \Leftrightarrow \ \exists x\in \{$Женщины$\}:$ Иванов знает $x.$

Далее школьнику следует сообщить, что высказывание $\exists x(P[x])$ и $\exists y(P[y])$ имеют одинаковый смысл, при условии, что в первом из этих высказываний не фигурирует символ $y$, а во втором высказывании не фигурирует символ $x$.

Примеры

5.1 $\exists x(x\in \{$Девочки$\}\land x$ любит комплименты.$)\ \Leftrightarrow \ \exists y(y\in \{$Девочки$\}\land y$ любит комплименты.$)$

5.2 $\exists x(x\in \{$Женщины$\}\land$ Иванов знает $x.)\ \Leftrightarrow \ \exists y(y\in \{$Женщины$\}\land$ Иванов знает $y.)$

Далее школьнику следует сообщить, что символы, которые не влияют на произношение высказывания называются немыми.

Примеры

6.1 Высказывание "$\exists x(x\in \{$Девочки$\}\land x$ любит комплименты.$)$" включает немой символ $x$, который не произносится в предложениях "Есть девочка, которая любит комплименты.", "По меньшей мере одна девочка любит комплименты.", "Некая девочка любит комплименты."

6.2 Высказывание "$\exists y(y\in \{$Женщины$\}\land$ Иванов знает $y.)$" включает немой символ $y$, который не произносится в предложениях "Есть женщина, которую знает Иванов.", "Иванов знает хотя бы одну женщину.", "Иванов знает некую женщину.".

6.3 Высказывание "$\exists z(z\in \{$Натуральные числа$\}\land z$ делится на два.$)$" включает немой символ $z$, который не произносится в предложениях "Есть натуральное число, которое делится на два.", "Хотя бы одно натуральное число делится на два.", "Некоторое натуральное число делится на два."

Далее, школьника следует проинформировать о том, что начинающие стремятся буквально переводить высказывания с квантором существования.

Пример

Начинающие могут переводить высказывание "$\exists x(x\in \{$Девочки$\}\land x$ любит комплименты.$)$" так:

"Cуществует $x$ такой, что он принадлежит девочкам и любит комплименты.",

"Cуществует элемент $x$ из множества {Девочки}, и этот $x$ любит комплименты.",

"Cуществует элемент множества {Девочки}, и этот элемент любит комплименты.".

Такие буквальные переводы похожи на буквальные переводы английских высказываний типа "I have been writing an article for two hours.".

Научившись использовать кванторы с предложениями типа "По меньшей мере одна девочка любит комплименты.", школьник должен научиться использовать кванторы с предложениями типа "По меньшей мере две девочки любят комплименты.".

Примеры со вспомогательным квантором $\exists ^{\geqslant 2}$ и сдвоенными кванторами существования $\exists \exists$

7.1 Предложение "По меньшей мере двум девочкам нравятся комплименты." равносильно как предложению "Некоторым девочкам нравятся комплименты.", так и предложению "Есть девочки, которым нравятся комплименты." Каждое из этих трёх предложений можно записать двумя способами, а именно:

$\exists ^{\geqslant 2}x(x\in \{$Девочки$\}\land x$ любит комплименты.$)$

$\exists x_{1}\exists x_{2}(x_{1}\neq x_{2}\land x_{1}\in \{$Девочки$\}\land x_{2}\in \{$Девочки$\}\ \land \ x_{1}$ любит комплименты.$\ \land \ x_{2}$ любит комплименты.$)$

7.2 Предложение "Иванов знает хотя бы двух женщин." равносильно как предложению "Иванов знает некоторых женщин.", так и предложению "Есть женщины, которых знает Иванов." Каждое из этих трёх предложений можно записать двумя способами, а именно:

$\exists ^{\geqslant 2}x(x\in \{$Женщины$\}\land$ Иванов знает $x.)$

$\exists x_{1}\exists x_{2}(x_{1}\neq x_{2}\land x_{1}\in \{$Женщины$\}\land x_{2}\in \{$Женщины$\}\ \land \$Иванов знает$\ x_{1}.\ \land \$Иванов знает$\ x_{2}.)$

7.3 Предложение "По крайней мере два натуральных числа делятся на два." равносильно как предложению "Некоторые натуральные числа делятся на два.", так и предложению "Есть натуральные числа, которые делятся на два.". Каждое из этих трёх предложений можно записать двумя способами, а именно:

$\exists ^{\geqslant 2}x(x\in {\mathbb {N} }\land x$ делится на два.$)$

$\exists x_{1}\exists x_{2}(x_{1}\neq x_{2}\land x_{1}\in {\mathbb {N} }\land x_{2}\in {\mathbb {N} }\ \land \ x_{1}$ делится на два.$\ \land \ x_{2}$ делится на два.$)$

Далее школьнику следует осознать, что он может не пользоваться вспомогательным квантором $\exists ^{\geqslant 2}$, пользуясь двумя кванторами существования $\exists$ и знаком $\neq$.

Научившись использовать кванторы с предложениями типа "По меньшей мере одна девочка любит комплименты." и предложениями типа "По меньшей мере две девочки любят комплименты.", школьник должен научиться использовать кванторы с предложениями типа "Разве что одна девочка любит комплименты.".

Примеры со вспомогательным квантором $\exists ^{\leqslant 1}$ и сдвоенными кванторами существования $\exists \exists$

8.1 Предложение "Разве что одной девочке нравятся комплименты." можно записать тремя способами, а именно:

$\exists ^{\leqslant 1}x(x\in \{$Девочки$\}\land x$ любит комплименты.$)$

$\neg (\exists ^{\geqslant 2}x(x\in \{$Девочки$\}\land x$ любит комплименты.$))$

$\neg (\exists x_{1}\exists x_{2}(x_{1}\neq x_{2}\land x_{1}\in \{$Девочки$\}\land x_{2}\in \{$Девочки$\}\ \land \ x_{1}$ любит комплименты.$\ \land \ x_{2}$ любит комплименты.$))$

8.2 Предложение "Иванов знает разве что одну женщину." можно записать тремя способами, а именно:

$\exists ^{\leqslant 1}x(x\in \{$Женщины$\}\land$ Иванов знает $x.)$

$\neg (\exists ^{\geqslant 2}x(x\in \{$Женщины$\}\land$ Иванов знает $x.))$

$\neg (\exists x_{1}\exists x_{2}(x_{1}\neq x_{2}\land x_{1}\in \{$Женщины$\}\land x_{2}\in \{$Женщины$\}\ \land \$Иванов знает$\ x_{1}.\ \land \$Иванов знает$\ x_{2}.))$

8.3 Предложение "Разве что одно натуральное число делится на два." можно записать тремя способами, а именно:

$\exists ^{\leqslant 1}x(x\in {\mathbb {N} }\land x$ делится на два.$)$

$\neg (\exists ^{\geqslant 2}x(x\in {\mathbb {N} }\land x$ делится на два.$))$

$\neg (\exists x_{1}\exists x_{2}(x_{1}\neq x_{2}\land x_{1}\in {\mathbb {N} }\land x_{2}\in {\mathbb {N} }\ \land \ x_{1}$ делится на два.$\ \land \ x_{2}$ делится на два.$))$

Далее школьнику следует осознать, что он может не пользоваться вспомогательным квантором $\exists ^{\leqslant 1}$, пользуясь двумя кванторами существования $\exists$, знаком $\neq$ и знаком $\neg$.

Далее школьник должен научиться использовать кванторы с предложениями типа "Только одна девочка любит комплименты.".

Примеры со вспомогательным квантором $\exists ^{=1}$ и квантором $\exists !$

9.1 Равносильные предложения "Только одной девочке нравятся комплименты." и "Есть лишь одна девочка, которой нравятся комплименты." можно записать следующими способами:

$\exists ^{=1}x(x\in \{$Девочки$\}\land x$ любит комплименты.$)$

$\exists ^{\geqslant 1}x(x\in \{$Девочки$\}\land x$ любит комплименты.$)\ \land \ \exists ^{\leqslant 1}x(x\in \{$Девочки$\}\land x$ любит комплименты.$)$

$\exists x(x\in \{$Девочки$\}\land x$ любит комплименты.$))\ \land \ \neg (\exists x_{1}\exists x_{2}(x_{1}\neq x_{2}\land x_{1}\in \{$Девочки$\}\land x_{2}\in \{$Девочки$\}\ \land \ x_{1}$ любит комплименты.$\ \land \ x_{2}$ любит комплименты.$))$

$\exists !x(x\in \{$Девочки$\}\land x$ любит комплименты.$)$

9.2 Равносильные предложения "Иванов знает только одну женщину." и "Есть лишь одна женщина, которую знает Иванов." можно записать следующими способами:

$\exists ^{=1}x(x\in \{$Женщины$\}\land$ Иванов знает $x.)$

$\exists ^{\geqslant 1}x(x\in \{$Женщины$\}\land$ Иванов знает $x.)\ \land \ \exists ^{\leqslant 1}x(x\in \{$Женщины$\}\land$ Иванов знает $x.)$

$\exists x(x\in \{$Женщины$\}\land$ Иванов знает $x.)\ \land \ \neg (\exists x_{1}\exists x_{2}(x_{1}\neq x_{2}\land x_{1}\in \{$Женщины$\}\land x_{2}\in \{$Женщины$\}\ \land \$Иванов знает$\ x_{1}.\ \land \$Иванов знает$\ x_{2}.))$

$\exists !x(x\in \{$Женщины$\}\land$ Иванов знает $x.)$

9.3 Равносильные предложения "Только одно натуральное число делится на два." и "Есть лишь одно натуральное число, которое делится на два." можно записать следующими способам:

$\exists ^{=1}x(x\in {\mathbb {N} }\land x\ mod\ 2=0)$

$\exists ^{\geqslant 1}x(x\in {\mathbb {N} }\land x\ mod\ 2=0)\ \land \ \exists ^{\leqslant 1}x(x\in {\mathbb {N} }\land x\ mod\ 2=0)$

$\exists x(x\in {\mathbb {N} }\land x\ mod\ 2=0)\ \land \ \neg (\exists x_{1}\exists x_{2}(x_{1}\neq x_{2}\land x_{1}\in {\mathbb {N} }\land x_{2}\in {\mathbb {N} }\ \land \ x_{1}\ mod\ 2=0\ \land \ x_{2}\ mod\ 2=0))$

$\exists !x(x\in {\mathbb {N} }\land x\ mod\ 2=0)$

Далее школьник должен научиться использовать кванторы с предложениями типа "Ни одна девочка не любит комплименты.".

Примеры со вспомогательными кванторами $\exists ^{=0}$ и $\nexists$ и квантором существования $\exists$

10.1 Равносильные предложения "Ни одной девочке не нравятся комплименты." и "Нет ни одной девочки, которой нравятся комплименты." можно записать следующими способами:

$\exists ^{=0}x(x\in \{$Девочки$\}\land x$ нравятся комплименты.$)$

$\nexists x(x\in \{$Девочки$\}\land x$ нравятся комплименты.$)$

$\neg (\exists x(x\in \{$Девочки$\}\land x$ любит комплименты.$))$

10.2 Равносильные предложения "Иванов не знает ни одну женщину." и "Нет ни одной женщины, которую знает Иванов." можно записать следующими способами:

$\exists ^{=0}x(x\in \{$Женщины$\}\land$ Иванов знает $x.)$

$\nexists x(x\in \{$Женщины$\}\land$ Иванов знает $x.)$

$\neg (\exists x(x\in \{$Женщины$\}\land$ Иванов знает $x.))$

10.3 Равносильные предложения "Ни одно натуральное число не делится на два." и "Нет ни одного натурального числа, которое делится на два." можно записать следующими способам:

$\exists ^{=0}x(x\in {\mathbb {N} }\land x\ mod\ 2=0)$

$\nexists x(x\in {\mathbb {N} }\land x\ mod\ 2=0)$

$\neg (\exists x(x\in {\mathbb {N} }\land x\ mod\ 2=0))$

СВОДКА ФОРМУЛ

$P[x]$ (например, "Какая-то девочка изучает логику.")

$P[x_{0}]$ (например, "Эта девочка изучает логику.")

$P[x_{1}]$ (например, "Та девочка изучает логику.")

$\exists x(P[x])$ (например, "Есть девочка, которая изучает логику.")

$\nexists x(P[x])\ \Leftrightarrow \ \neg (\exists x(P[x]))$ (например, "Нет ни одной девочки, которая изучает логику.")

$\exists ^{=0}x(P[x])\ \Leftrightarrow \ \neg (\exists x(P[x]))$ (например, "Нет ни одной девочки, которая изучает логику.")

$\exists ^{\geqslant 1}x(P[x])\ \Leftrightarrow \ \exists x(P[x])$ (например, "Есть хотя бы одна девочка, которая изучает логику.)

$\exists ^{\leqslant 1}x(P[x])\ \Leftrightarrow \ \neg (\exists x_{1}\exists x_{2}(x_{1}\neq x_{2}\land P[x_{1}]\land P[x_{2}]))$ (например, "Есть разве что одна девочка, которая изучает логику.")

$\exists ^{=1}x(P[x])\ \Leftrightarrow \ \exists ^{\geqslant 1}x(P[x])\land \exists ^{\leqslant 1}x(P[x])$ (например, "Есть только одна девочка, которая изучает логику.")

$\exists ^{=1}x(P[x])\ \Leftrightarrow \ \exists x(P[x])\land \neg (\exists y(y\neq x\land P[y])))$ (например, "Есть только одна девочка, которая изучает логику.")

$\exists !x(P[x])\ \Leftrightarrow \ \exists ^{=1}x(P[x])$ (например, "Есть единственная девочка, которая изучает логику.)

$\exists ^{\geqslant 2}x(P[x])\ \Leftrightarrow \ \exists x_{1}\exists x_{2}(x_{1}\neq x_{2}\land P[x_{1}]\land P[x_{2}])$ (например, "Есть хотя бы две девочки, которые изучают логику.")

Школьник должен осознать, что все кванторы можно выразить с помощью квантора существования $\exists$.

NB Квантор всеобщности $\forall$ можно выразить с помощью квантора существования $\exists$ и знака $\neg$ по формуле $\forall x(P[x])\Leftrightarrow \neg (\exists x(\neg P[x]))$

ВЗАИМОСВЯЗИ МЕЖДУ ФОРМУЛАМИ

$P[x]\Rightarrow \exists x(P[x])$ (например, "Если какая-то девочка изучает логику, тогда некая девочка изучает логику.")

$P[x_{0}]\Rightarrow \exists x(P[x])$ (например, "Если данная девочка изучает логику, тогда некая девочка изучает логику.")

$\exists ^{=0}x(P[x])\ \Rightarrow \ \exists ^{\leqslant 1}x(P[x]))$ (например, "Если ни одна девочка не изучает логику, тогда разве что одна девочка изучает логику.")

$\exists ^{=1}x(P[x])\ \Rightarrow \ \exists ^{\leqslant 1}x(P[x]))$ (например, "Если только одна девочка изучает логику, тогда разве что одна девочка изучает логику.")

$\exists ^{=1}x(P[x])\ \Rightarrow \ \exists ^{\geqslant 1}x(P[x]))$ (например, "Если только одна девочка изучает логику, тогда хотя бы одна девочка изучает логику.")

$\exists ^{\geqslant 2}x(P[x])\ \Rightarrow \ \exists ^{\geqslant 1}x(P[x]))$ (например, "Если некие девочки изучают логику, тогда некая девочка изучает логику.")

94.26.145.33 19:02, 17 февраля 2023 (UTC)

• ВП:ОРИСС. Приведите АИ, откуда вы это взяли. Yɨ1NEPOXOZHE (обс.) 13:26, 1 марта 2024 (UTC)