176.215.77.170 10:56, 6 апреля 2023 (UTC) В статье явно прослеживается полное непонимание ПРИЧИНЫ теоретического появления данного парадокса. Все время говориться о том, что парадокс возможен если жидкость "идеальная". А "идеальная" жидкость - это жидкость без вязкости (без внутреннего трения). Поэтому наряду с утверждением, что ПРИЧИНОЙ теоретического появления данного парадокса является сказочная идеальная жидкость, так же утверждается, что ПРИЧИНОЙ теоретического появления данного парадокса является сказочная не вязкая жидкость - что одно и то же. На самом деле ПРИЧИНОЙ теоретического появления данного парадокса является сказочная "несжимаемая" жидкость. Именно свойство сжимаемости и разжимаемости жидкости (или газа) обеспечивает изменение Давления в жидкости. "Несжимаемая" жидкость обеспечивает отсутствие перепада Давлений перед и за телом. А отсутствие перепада давлений обеспечивает нулевую силу сопротивления. - - - - - Термин "идеальная" или "невязкая" жидкость в стать озвучивается около 6-7 раз. А термин "несжимаемая" жидкость - ни разу! Как так? А связано это с тем, что на сказочную "несжимаемая" жидкость, скорее всего "наезжать" запрещено, т.к. она лежит в ОСНОВЕ уравнения Бернулли,
а уравнение лежит в ОСНОВЕ теории полета самолетов. И если люди начнут понимать, что сказочная "несжимаемая" жидкость или газ обеспечат самолету НУЛЕВУЮ Полную аэродинамическую силу (которая на самом деле является силой полного аэродинамического сопротивления), то вся теоретическая подоплека о полете самолета летит в "трам-тарары" 176.215.77.170 11:14, 6 апреля 2023 (UTC) 176.215.77.170 11:13, 6 апреля 2023 (UTC) 176.215.77.170 11:12, 6 апреля 2023 (UTC)арары!
В формулировке парадокса Д’Аламбера-Эйлера не присутствует элемент неожиданности, не показаны противоречия результатов теоретических расчетов практическому опыту. Поэтому правильной будет другая формулировка парадокса Д’Аламбера-Эйлера:
«Результаты теоретических расчетов с нулевой силой сопротивления движению твердых тел в идеальной среде на основе потенциальной, безвихревой, безотрывной модели обтекания Д’Аламбера-Эйлера не могут быть реализованы на практике потому, что эта модель в большинстве случаев приводит к бессмысленным решениям с отрицательными давлениями в идеальной среде, а при обтекании твердых тел с острыми кромками – даже к результатам с бесконечно большими отрицательными давлениями.
В модели Д’Аламбера-Эйлера нулевая сила сопротивления движению твердых тел в идеальной среде не является результатом теоретических расчетов. В соответствии с законом сохранения энергии нулевой конечный результат уже заложен в самом начале расчетов при выборе потенциального безотрывного обтекания твердых тел.
Для теоретических расчетов силы сопротивления движению твердых тел в идеальной среде необходимо выбирать модели, не приводящие к решениям с отрицательными давлениями в идеальной среде. Известные теоретические модели обтекания твердых тел идеальной средой – струйная модель Кирхгофа-Гельмгольца, модель вихревых дорожек Кармана – исключают появление результатов с отрицательными давлениями в идеальной среде и поэтому позволяют рассчитывать силы сопротивления движению твердых тел в идеальной среды.»
И еще ряд замечаний по тексту статьи:
Утверждение о том, что « Составляющая силы, которая перпендикулярна потоку (подъемная сила), может быть отлична от нуля даже при выполнении всех условий парадокса » - противоречит основам потенциальной, безвихревой, безотрывной модели Д’Аламбера-Эйлера, потому что в этой модели все силы взаимодействия (включая и подъемную силу) равны нулю - в соответствии с законом сохранения энергии.
Неудачным примером является утверждение о том,что « при безотрывном обтекании наклонённой к потоку пластинки даже при нулевой циркуляции скорости (и, следовательно, при нулевой подъемной силе) возникает момент сил, стремящийся повернуть пластинку поперёк потока ». В модели Д’Аламбера-Эйлера при обтекании плоских пластинок возникают бесконечно большие отрицательные давления за острыми кромками - поэтому такие решения являются бессмысленными.
Alexandr AUGUST 13:10, 14 октября 2012 (UTC)
- В тех случаях, когда теория идеальной жидкости применима, например при обтекании крыловых профилей при малых (до 10–12 градусов) углах атаки, теоретические расчеты сил и распределений давлений хорошо согласуются с экспериментом. Там, где эта теория неприменима (плохообтекаемые тела) — и специалисты, занимающиеся этими вопросами, это прекрасно знают — используются другие модели.
- Существование подъёмной силы не противоречит закону сохранения энергии, т.к. сила перпендикулярна скорости тела относительно потока и ее мощность равна нулю.
- Пример с пластинкой качественно правильно описывает возникающие моменты. Области с отрицательным давлением (в рамках потенциального обтекания идеальной жидкостью) исчезают, если вместо острых краёв пластинки сделать малые скругления на концах пластинки или рассмотреть вытянутый эллипс; при этом момент, стремящийся повернуть пластинку поперёк потока, по-прежнему есть.
- 92.36.121.6 09:53, 17 января 2013 (UTC)
ЧТО НАДО ИЗМЕНИТЬ В СТАТЬЕ "ПАРАДОКС ДАЛАМБЕРА"
Ни в одном из доказательств парадокса Д’Аламбера–Эйлера не учитывают естественное физическое ограничение для давления в потоке идеальной среды, которое не может быть отрицательным [1,2,3,4].
На рисунке 1 показан пример «строго математического» доказательства парадокса Д’Аламбера–Эйлера при обтекании круглого бесконечного цилиндра потенциальным безвихревым потоком идеальной среды. Рис. 1.а иллюстрирует подход Эйлера. Этот рисунок можно рассматривать как фотографию равномерного, установившегося потока частиц идеальной среды. Поэтому параметры потока идеальной среды на этом рисунке не изменяются во времени, но будут различными для разных точек геометрических координат (например, Декартовой системы координат).
На бесконечном удалении от цилиндра направление вектора скорости потока V∞ совпадает с положительным направлением оси 0X (см. рис. 1.а).
Задача определения сил взаимодействия разделяется на два этапа [1,3,4]:
- определение состояния движения идеальной среды при обтекании твердого тела, то есть построение кинематической картины течения;
- определение сил взаимодействия между идеальной средой и твердым телом, то есть решение динамической задачи.
На первом этапе обычно выбирают безвихревое движение идеальной среды, и задача сводится к нахождению комплексного потенциала [1]:
w(x) = φ(x,y) + i ψ(x,y) , (1)
где: φ(x,y) – потенциал скорости;
ψ(x,y) – функция тока.
Выбор потенциальной безвихревой модели аргументируется не противоречием этой модели теореме Лагранжа [1].
Задача может быть сведена к нахождению только одной функции ψ или φ, так как потенциал φ связан с ψ известными условиями Коши-Римана, позволяющими определить φ в виде квадратуры по известной функции ψ [1].
Функция тока ψ, которая во всех точках потока идеальной среды предполагается непрерывной, удовлетворяет во всех точках уравнению Лапласа: ▼2 ψ = 0 (условие безвихревого обтекания) [1].
Должно также выполняться граничное условие – непроникновение через твердую стенку [1], т.е. на контуре твердого тела нормальная составляющая скорости прилегающих частиц идеальной среды равняется нулю.
Определение плоского безвихревого движения невязкой и несжимаемой жидкости, вызываемого движением ограничивающих область течения контуров, сводится к решению некоторой задачи Дирихле [1].
Рисунок 1 – Обтекание круглого цилиндра потоком идеальной среды
Аналитическое решение этой задачи указывает на то, что линия тока, примыкающая к поверхности круглого цилиндра, является линией тока ψ = 0. Остальные линии тока – суть кривые третьего порядка (рис. 1.а) [1].
Скорость частиц идеальной среды на участке A1-B уменьшается от V∞ до 0. На участке B-C-D скорость изменяется в соответствии с выражением:
V = 2*V∞ * |sin θ| = Vm * |sin θ| , (2)
где θ – угол в полярной системе координат.
Наибольшее значение скорости Vm = 2*V∞ достигается в точках С1 и С2 (рис. 1.а). После точки D скорость частиц идеальной среды увеличивается от 0 до V∞ (рис. 1.в).
На втором этапе, при решении динамической задачи, вычисляется распределение давления по контуру твердого тела на основе интеграла Бернулли. Полная симметрия распределения скорости движения частиц идеальной среды по поверхности цилиндра относительно вертикальной оси 0Y (рис. 1.в) соответствует симметрии распределения давления (рис. 1.б – сплошная линия) [1,2].
Поэтому интегрирование давления по поверхности цилиндра дает нулевое значение, а, следовательно, и сила, действующая на цилиндр со стороны идеальной среды, равна нулю.
При детальном рассмотрении рис.1.а и рис.1.в обращает на себя внимание тот факт, что время перемещения частицы идеальной среды из точки А1 в точку В будет в 1,5…2 раза больше, чем время продвижения частицы идеальной среды из точки K в точку L с постоянной скоростью V∞ : tKL = SKL / V∞ .
Потому что расстояние SKL = SАВ, а скорость движения частицы идеальной среды из точки А1 в точку В уменьшается от V∞ до нуля (рис. 1.в).
Аналогично время продвижение частицы идеальной среды из точки D в точку E1 будет в 1,5…2 раза больше, чем время продвижения частицы идеальной среды из точки M в точку N с постоянной скоростью V∞
При расчете времени движения частицы идеальной среды между точками B-C-D необходимо учитывать, что расстояние SBCD рассчитывается по полуокружности: SBCD = π * R (на рис. 1.в этот участок горизонтальной оси 0Х изображен в виде полуокружности).
Расчетное время движения частицы идеальной среды между точками B-C-D будет в 2,25 раз больше, чем время перемещения частицы идеальной среды между точками L-M. Поэтому частицы идеальной среды, которые начали движение в точках А1, А2, А3, А4, К, выстроятся позади цилиндра в клин Е1, Е2, Е3, Е4, N, обозначенный на рис.1.а точечной пунктирной линией.
С учетом изложенного на основе принципа относительности Галилея рассмотрим равномерное движение круглого цилиндра в неподвижной идеальной среде, – это соответствует подходу Лагранжа (рис. 2). Для того, чтобы не загромождать рисунок показаны только верхние траектории движения частиц (на самом деле рисунок должен быть симметричным относительно горизонтальной временной оси).
Точки неподвижной идеальной среды в начальный момент времени t0: А1, А2, А3, А4, К на рис. 2 – соответствуют одноименным точкам на рис. 1.а. В момент времени t0 цилиндр, который равномерно движется влево со скоростью V∞, находится значительно правее этих точек.
Пунктиром обозначены положения цилиндра в моменты времени:
- t1 – частица идеальной среды из точки А1 ускорилась от нуля до скорости движения цилиндра V∞ и переместилась в точку В;
- t2 – частица идеальной среды из точки В переместилась в точку С1, в этот момент времени эта частица движется со скоростью V∞, но в противоположном направлении (с учетом соотношения (2));
- t3 – частица идеальной среды из точки С1 переместилась в точку D, замедлив свою скорость от 2*V∞ до V∞.
Рисунок 2 – Движение круглого цилиндра в неподвижной идеальной среде
В дальнейшем цилиндр продолжает движение влево со скоростью V∞, а частица идеальной среды, замедлив скорость от V∞ до нуля, переместилась из точки D в точку Е1.
Частица идеальной среды из точки А2 переместилась в точку Е2 за меньшее время, потому что эта частица ускорялась от нуля до скорости, меньшей, чем V∞, и скорость в верхней точке этой траектории меньше, чем – V∞.
Время перемещения частицы идеальной среды из точки А3 в точку Е3 еще меньше. Из точки А4 в точку Е4 частица переместилась еще быстрее. А частица из точки К осталась на месте, то есть никуда не перемещалась.
Таким образом равномерно движущийся в идеальной среде цилиндр перемещает все частицы идеальной среды за собой. На наибольшее расстояние перемещаются частицы, расположенные ближе к центру цилиндра (частица А1). Остальные частицы (А2, А3, А4) перемещаются на меньшие расстояния.
Но, если перемещения этих частиц происходят в горизонтальной плоскости, то никакая работа не совершается и не нужна дополнительная энергия для этих перемещений. Поэтому сила сопротивления движению цилиндра в идеальной среде равна нулю.
Учитывая однозначность решения кинематической задачи для стационарного течения, необходимо признать, что при увеличении скорости потока V∞ максимальная скорость Vm также пропорционально увеличивается в соответствии с распределением (2). В нашем примере при обтекании круглого цилиндра несжимаемой идеальной средой максимальная скорость Vm в точках C1 и C2 (см. рис. 1.а) в 2 раза больше V∞.
Введем коэффициент :
a = Vm / V∞ > 1. (3)
Величина этого коэффициента определяется профилем обтекаемых твердых тел и может достигать больших величин, даже бесконечности.
Существование интегралов Бернулли, Коши, Бернулли-Эйлера [1,2] ставит для величины максимальной скорости Vm известный предел, превзойти который движущаяся идеальная среда не может без разрыва сплошности [1].
Если в некоторой точке линии тока заданы: z∞,V∞ и p∞, то для любой точки этой линии тока текущие параметры: z, V и p определяются интегралом Бернулли:
. (4) Соотношение (4) показывает, что величина V не может оказаться чрезвычайно большой ни в одной точке линии тока, так как давление p в идеальной среде не может быть отрицательным [1,3,4]. Потому что моделью нулевого давления является вакуум, а что может быть меньше вакуума??? Для точек на одной высоте (z∞= z) получаем неравенство:
, , (5) то есть давление p в любой точке должно оставаться положительным. Из этого неравенства находим предел для величины скорости V [3,4] :
. (6) Тогда предельное значение скорости потока V∞, удовлетворяющее неравенству (6), ограничено величиной:
; (7)
, (8) где: a = Vm / V∞ – коэффициент из соотношения (3). Если, не меняя рис. 1.а, увеличить величину V∞ до значения, большего, чем в соотношении (8), то в точках B и D давление увеличится до величины B” или D”, а в точках С1” и С2” давление будет отрицательным (смотри рис. 1.б – точечная пунктирная линия) [3,4]. Это указывает на абсурдность парадокса Д’Аламбера–Эйлера Если постепенно сжимать круглый цилиндр (в точках В и D на рис. 1.а) до плоской поперечной пластины с острыми кромками на краях, то коэффициент a = Vm / V∞ стремится к бесконечности. При этом за острой кромкой будет бесконечно большое отрицательное давление [3,4]. Поэтому при движении поперечной плоской пластины в идеальной среде невозможно получить нулевое сопротивление ни для каких скоростей движения. Для профилей с острыми кромками (а это не только поперечная плоская пластина, – это может быть квадратный или треугольный и многие другие профили) парадокс Д’Аламбера–Эйлера с нулевой силой сопротивления является нереализуемой фикцией. Альтернативные модели стационарного обтекания твердых тел идеальной средой с вихреобразованием (модели Кирхгофа–Гельмгольца, Кармана и др.) не противоречат теоремам Кельвина (Томсона) и Лагранжа, и позволяют рассчитать силу сопротивления движению твердых тел в идеальной среде [1,2,3,4]. Если при стационарном движении твердого тела в идеальной среде присутствует сила сопротивления, то это означает, что для поддержания движения какой-либо внешний источник энергии непрерывно производит работу для преодоления силы сопротивления. В соответствии с законом сохранения энергии эта работа затрачивается на образование позади твердого тела вихрей, т.е. на увеличение общей кинетической энергии потока. Эти вихри уносятся потоком на бесконечность [1,2,3,4]. А для реальных жидкостей или газов, обладающих вязкостью, кинетическая энергия вихрей диссипируется (т.е. превращается в тепловую энергию) на конечном расстоянии позади твердого тела. Уравнения движения идеальной среды допускают решения, в которых на поверхности обтекаемого идеальной средой твердого тела происходит, как говорят, «отрыв струй»: линии тока, следовавшие вдоль поверхности, в некотором месте «отрываются» от нее и уходят в глубь идеальной среды (модель Кирхгофа–Гельмгольца) [1,2,3,4]. В результате возникает картина течения, характеризующаяся наличием отходящих от тела «поверхностей тангенциального разрыва», на которых скорость идеальной среды (будучи направлена в каждой точке по касательной к этим поверхностям) терпит разрыв непрерывности. Другими словами, вдоль этих поверхностей один слой идеальной среды как бы скользит по другому (по «застойному» слою неподвижной среды позади тела) (рис. 3). С математической точки зрения скачок тангенциальной составляющей скорости представляет собой поверхностный ротор скорости [1,2,3,4]. Подчеркнем, однако, что поверхность тангенциального разрыва, представляющая собой тонкий вихревой слой, – неустойчива [1,2,3,4]. Распадаясь на отдельные вихри, поверхности разрыва быстро «заполняют» застойную зону вихревыми движениями. Многочисленные наблюдения подтверждали наличие такой картины явления и привели к созданию теории вихревых дорожек Кармана [1,2,3,4].
Рисунок 3 – Модель Кирхгофа–Гельмгольца обтекания твердого тела идеальной средой с отрывом струй
В нижней части цилиндра на рис. 3 условно изображена увеличительная лупа и увеличенное изображение шероховатой поверхности цилиндра. За острыми кромками шероховатостей также образуются отрывы струй и небольшие застойные зоны. Самая нижняя кромка шероховатости поверхности определяет точку отрыва струи от цилиндра. Наличие небольших застойных зон позади острых кромок шероховатостей поверхности цилиндра объясняет образование пограничного слоя при обтекании твердых тел вязкими жидкостями. Соседние струи движущейся вязкой жидкости взаимодействуют с этими застойными зонами (то есть с пограничным слоем) и вносят дополнительный вклад в величину силы сопротивления движению твердого тела. Расчеты силы сопротивления на основе модели Кирхгофа–Гельмгольца при стационарном, установившемся движении твердого тела в идеальной среде приводят к результатам, совпадающим с экспериментальными измерениями [1]:
F = C * ρ * V2∞, (9)
где: F – сила сопротивления;
ρ – плотность идеальной среды;
С – множитель (имеющий размерность – м2), учитывающий форму и размеры обтекаемого тела.
Обычно гидродинамические силы F, действующие со стороны движущейся идеальной среды на твердое тело произвольной формы, выражают через их проекции [1,2,3,4] :
F = Xa * i + Ya * j +Za * k, (10)
где: i, j, k – единичные векторы вдоль осей координат;
Xa – сила лобового сопротивления;
Ya – подъемная сила;
Za – боковая сила.
Наряду с образованием силы лобового сопротивления, используя модель с вихреобразованием, можно также объяснить возникновение подъемной и боковой сил, как нормальных или ортогональных составляющих (относительно направления вектора скорости потока V∞) силы сопротивления F.
Таким образом, подъемная сила возникает при стационарном обтекании идеальной средой несимметричных (относительно вектора скорости потока V∞) твердых тел.
Известное условие Кутта о «закругленной передней кромке и острой задней кромке» – не нужно для возникновения подъемной или боковой силы. Да и сама теорема Жуковского-Кутта с фиктивным «присоединенным вихрем» – тоже не нужна для объяснения возникновения подъемной силы [5].
ВЫВОДЫ:
1. Все доказательства парадокса Д’Аламбера–Эйлера, приведенные в учебниках [1,2], мягко говоря, некорректны, потому что еще до проведения расчетов на этапе выбора начальных условий о выравнивания параметров потока далеко впереди и позади тела – закладывается нулевой конечный результат.
Если поток идеальной среды, обтекающий твердое тело, окружить замкнутым контуром (охватывающим твердое тело), и внутри этого контура отсутствуют источники энергии или нет притока энергии извне, то, в соответствии с законами сохранения энергии и сохранения количества движения, внутри этой замкнутой поверхности невозможно силовое взаимодействие [1,2,3,4]. Потому что, допустив наличие силы сопротивления, необходимо признать, что на преодоление этой силы необходимо было бы затрачивать энергию от какого-то источника. Эта энергия приводит к изменению общей энергии потока, то есть к образованию вихрей позади твердого тела, поэтому параметры потока впереди твердого тела и позади его – не совпадают.
Поэтому нулевая сила сопротивления в парадоксе Д’Аламбера не является результатом теоретических расчетов, а есть следствием бессистемно, произвольно выбранных начальных условий, а также отказом учитывать физические ограничения на величину давления, которое не может быть отрицательным.
2. Альтернативные модели стационарного обтекания твердых тел идеальной средой с вихреобразованием (модели Кирхгофа–Гельмгольца, Кармана и др.) не противоречат теоремам Кельвина (Томсона) и Лагранжа, учитывают физические ограничения на величину давления, и позволяют рассчитать силу сопротивления движению твердых тел в идеальной среде
3. Известная модель Жуковского-Кутта с фиктивным «присоединенным вихрем» противоречит фундаментальному закону сохранения энергии, а также в большинстве случаев приводит к решениям с отрицательными давлениями
Цитируемые источники:
1. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика.–М.: Физматгиз, 1963.– Т. 1.– 584 с.
2. Седов Л. И. Механика сплошной среды. – М.: Наука, 1970. – Т. 2. – 568 с.
3. Август А. Остановим теоретическую бессмыслицу или парадокс Д'Аламбера – 260 лет спустя // Современный научный вестник. Научно-технический и практический журнал, Руснаучкнига № 6 (62) 2009. С. 5-22.
4. Август А. Остановим теоретическую бессмыслицу или парадокс Д'Аламбера – 260 лет спустя, URL: http://dalamberparadox.narod.ru/
5. Август А.А. Абсурдность модели циркуляции в постулате Жуковского-Чаплыгина-Кута // Materialy IX Mezinarodni vedecko-prakticka conference «Moderni vymozenosti vedy 2013».– Dil 69, Fizika: Praga. 2013. – s. 26 – 33.
6 Торба А.А. Сравнение моделей обтекания твердых тел идеальной средой /Collerctive monograph: Theoretical foundations in research in Engineerig.- Boston (USA) - 2022.- P. 6-19.- DOI: 10.46299/ISG.2022.MONO.TECH.3.3.1
Смотри также:
7. Обсуждение статьи в Википедии: теорема Жуковского;
8. Обсуждение статьи в Википедии: Постулат Жуковского-Чаплыгина.
Alexandr AUGUST (обс.) 17:16, 5 ноября 2022 (UTC)