Обсуждение:Проективно расширенная числовая прямая

Бесконечность и возведение в степень

По поводу правки от 22 апреля 2021 в 08:06. Действительно, источники почему-то избегают рассмотрения бесконечности в качестве основания или показателя степени, ограничиваясь косвенными фразами типа "предел $e^{x}$ при $x\to \infty$ не существует". При этом данная операция де-факто довольно часто используется при вычислении пределов. Вообще пределы со степенями являются очень важной темой, поэтому считаю необходимым в этой статье упоминание про степени с бесконечностями. Я постараюсь найти источники, где такая операция определяется, и вернуть её в статью.
По поводу сомнительности возведения отрицательных чисел в бесконечность: да, действительно, если не переходить в область комплексных чисел, то возводить можно только в целую степень. Однако для определения результата операции в бесконечности этого достаточно, поскольку бесконечность является предельной точкой множества целых чисел. Мы вполне можем рассмотреть предел при стремлении показателя к бесконечности. Но даже при таком рассмотрении получится, что предела не существует, ведь с одной стороны у нас будет получаться бесконечность, а с другой 0 (в случае основания -1 -- 1 и -1). Таким образом, никакой элемент из ${\widehat {\mathbb {R} }}$ нельзя возвести в бесконечность. Но даже если почему-то не соглашаться с таким определением всё равно в итоге получится то же самое: никакое число нельзя возвести в бесконечность. По остальным формулам: бесконечность в степени 0 -- неопределённость, это общеизвестный факт. Бесконечность в отрицательной и положительной степени сложнее, тут уже надо считать предел функции двух переменных, но доказать приведённые мной равенства довольно не сложно (если хотите могу даже привести выкладки). Arami Mira (обс.) 20:15, 22 апреля 2021 (UTC)

• Википедия пишется по источникам. Если в источниках не определяется возведение в степень для расширенных действительных чисел, то и мы не можем об этом писать, даже если приведем доказательства. Это было бы ОРИСС. Так что вначале источники. Бесконечность является предельной точкой всех чисел, а не только целых. Иначе можно было бы сказать, что $\sin(2\pi x)=0$ при $x=\infty$, а это не так. — Алексей Копылов 07:09, 24 апреля 2021 (UTC)
  • Да, насчёт источников я понимаю, это действительно со стороны может выглядить как орисс, мне почему-то показалось, что в источниках это упоминалась, но ещё раз перечитав все свои источники, я нигде не нашёл никакого даже упоминания возведения в степень. Поэтому против вашей правки ничего не имею и отменять её не собираюсь (во всяком случае пока не найду источник).
    

По поводу вашего сравнения с синусом всё-таки хочу сказать, что оно не совсем корректно. Когда мы берём предел, мы берём его по области определения функции. То есть в качестве базы рассматриваем окрестности точки, пересечённые с её областью определения. Это можно продемонстрировать на примере функции ${\sqrt {x}}$. Когда мы считаем предел в нуле, мы рассматриваем не просто окрестности нуля (ибо ни в одной окрестности нуля корень не определён), а именно пересечённые с областью определения корня. Тогда мы и получаем 0. Область определения синуса -- все действительные числа, поэтому мы и рассматриваем предел по всем действительным числам, а не только по целым. Область определения степени (как функции двух переменных) -- это вся правая полуплоскость плюс все прямые вида x=n, y=n, где n -- целое. Поэтому и окрестности бесконечности тут получаются соответствующие (хоть и довольно странные, но такова уж функция степени).

Почему предел берётся по области определения? Потому что брать предел в каком-то большем множестве не имеет смысла, ибо расширение множества можно придумать какое угодно. Если вспомнить самые общие формулировки, то что такое вообще предел при стремлении к точке? Предел по базе окрестностей это точки. А окрестностей в каком топологическом пространстве? Ну понятно, что в области определения функции. Поэтому когда мы берём предел от функции, определённой только на подмножестве, то и окрестности мы берём в топологии на этом подмножестве. А индуцированная топология на подмножестве это, как мы знаем, пересечение открытых множеств с этим подмножеством. В конце концов наша цель это достроить функцию по непрерывности, а чтобы функция была непрерывна, она должна равняться своему пределу именно по своей области определения. Arami Mira (обс.) 10:41, 25 апреля 2021 (UTC)