Обсуждение:Трансфинитная индукция

$\Omega _{0}=A+B$ — Это неподписанное сообщение было добавлено участником 217.147.238.131 (обс · вклад) 20:28, 19 января 2006

Минимальный элемент

Пусть $M$ — вполне упорядоченное множество, $P(x)$ при $x\in M$ — некоторое утверждение. Пусть для любого $x\in M$ из того, что $P(y)$ истинно для всех $y<x$ следует, что верно $P(x)$, и пусть верно утверждение $P(x_{0})$, если $x_{0}$ — минимальный элемент $M$. Тогда утверждение $P(x)$ верно для любого $x$.

Утверждение: "из того, что $P(y)$ истинно для всех $y<x$ следует, что верно $P(x)$" формализуется так: $\forall y(y<x\rightarrow P(y))\rightarrow P(x)$

Подставляем $x=x_{0}$ (минимальный элемент) и замечаем, что левая часть импликации - тождественная истина, т.е. утверждение в целом равносильно $P(x_{0})$. Таким образом, в утверждении: "для любого $x\in M$ из того, что $P(y)$ истинно для всех $y<x$ следует, что верно $P(x)$", уже содержится утверждение: "верно утверждение $P(x_{0})$, если $x_{0}$ — минимальный элемент $M$". epros 07:50, 10 августа 2010 (UTC)