Обсуждение:Тригонометрические функции/Архив/2014

Здесь находятся завершившиеся обсуждения. Просьба не вносить изменений.

Правки De Riban5

Убедительно прошу в дальнейшем все свои замечания вносить не в текст статьи (даже если они оформлены HTML-комментариями), а на страницу обсуждения. Перенёс их сюда.

1. (оригинальная орфография сохранена) «Этот подраздел должен быть желательно на 1-м месте, а не на 2-м (как ныне); и не как ни подподраздел?!?» Почему вы считаете, что сначала надо давать частное и ограниченное определение, а затем — общее? Оба варианта вполне доступны школьнику 5-го класса.
2. «„Во многих учебниках“ — не-энциклопедичный стиль?!?» Без комментариев.
3. «„их“ — общий род и/или множественное число; „ихний“/„ихняя“ — единственное число, мужской/женский род соответственно — [1]» Загляните в более свежие словари:

не-энциклопедичный стиль.

Данная форма не соответствует ныне действующей норме. Нормативная форма: их.

Приглашаю других участников высказаться по существу. LGB (обс) 12:21, 19 сентября 2014 (UTC)

1. Тригонометрические функции#Определение тригонометрических функций для острых углов — Этот подраздел должен быть желательно на 1-м месте!.. Сначала идёт (должно идти!) общее [пусть и ограниченное] определение, а затем частное практическое (от простого к сложному — как и в любом учебнике (школьном, ВУЗовском)). Т.е. определение тригон.функций, а затем их практические натягивания на систему ко-ординат...
2. Комментарии. „Во многих учебниках“ — в энциклопедиях не пишут критику, а констатацию фактов. Для энциклопедии учебники [какие-нибудь школьные] не должны АИ; Энциклопедия должна быть Авторитетным Источником для учебников!
   «Во многих [неких… не всех? а каких?!?] учебниках» элементарной геометрии до настоящего времени тригонометрические функции <...> определяются» [или «определялись... до настоящего времени»]… а Wikipedia это критикует и оспаривает?!? т.е. там пишут не правильно? а как правильно?!?
   наверное: до настоящего времени определялись, определяются и будут определяться [в будущем времени]…
   (эт ещё раз говорит от том, што школьное толкование должно быть на 1-м месте ; см. также [2], может я не прав?!?)
3. „их“… чьих? — тригонометрических функций (← мн. ч.). „ихняя“… что? — периодичность (→ ед. ч., ж. р.) …Хотя последнее не существенно, не настаиваю.. (от себя подчеркну, интернет-ресурс „Gramota.Ru“, при всём к ним уважении, не был и не является безусловным АИ, поскольку зачастую он безграмотен, не использует источники/первоисточники… чаще всего использует машинный ответ, то бишь оне не знают шо такое нечёткая логика… ресурс, каковой закрылся от пользователей интернет-ответами «на голубой каёмочке» и т.д. и т.п. и проч. и многоточ. (в школу можно не ходить)…) --De Riban5 (обс) 10:05, 20 сентября 2014 (UTC)

Третий пункт я вынес на форум Обсуждение проекта:Русский язык/Грамотность, по остальным, я надеюсь, кто-нибудь выскажется. LGB (обс) 11:23, 21 сентября 2014 (UTC)

3-й пункт. Попросил бы вас «…Хотя последнее не существенно, не настаиваю» не трактовать дескать «убеждённо отстаивает своё право» (в Обсуждении проекта)
1-й пункт — предложение остаётся в силе… --De Riban5 (обс) 10:36, 28 сентября 2014 (UTC)

По 2-му пункту может будут ещё какие мнения, предложения… с ув. --De Riban5 (обс) 10:48, 29 сентября 2014 (UTC)

Радианы

Здесь находятся завершившиеся обсуждения. Просьба не вносить изменений.

какие ещё радианы? Древние индусы, предложившие это определение, понятия не имели о радианах — Позвольте полюбопытствовать: какое определение предложили индусы, и как у них называлися радианы??? с почтением --De Riban5 11:22, 4 ноября 2014 (UTC)

Почитайте статью История тригонометрии. Первое тригонометрическое определение синуса опубликовали индийские математики, до них синус определялся не через треугольник, а как длина хорды в круге. Это первое. Второе: ваша вставка «измерим углы (выраженные в радианах) как повороты» и т. д. бессмысленна, потому что следующее далее определение совершенно не зависит от того, как и чем измеряется угол. Функция просто сопоставляет конкретному углу конкретное значение, а радианы там или артиллерийские деления, это фиолетово. Вы уже не в первый раз делаете дилетантские (нередко косноязычные) корректировки, которые портят разные статьи. Хуже всего то, что вместо благодарности за поправки вы становитесь в позу и начинаете троллинг в пользу своей позиции. Надо быть скромнее и самокритичнее. LGB 12:11, 4 ноября 2014 (UTC)

Первое тригонометрическое определение синуса через какую меру (размерность; и, кстати, в чем он измеряется)?!? Чем отличается определение размерности синуса не через треугольник, а как длина хорды в круге (?) от определения размерности самого угла??? Как у индусов назывались радианы?? Мы пишем [с вами] историю или тригонометрию? (вообще-то мы писали не тригонометрию /функцию/, и не историю, а угол…)?!?
«Вы уже не в первый раз <…>, которые портят разные статьи.» — попросил бы вас не быть голословным. (не судите строго, не судите опрометчиво… не берите на себя функцию прокурора… давайте будем скромнее — не будемте переходить от обсуждения к осуждению (в т.ч. взаимному; …вы меня вынуждаете огрызаться), не советую, — говорите по сути; меня обсуждать не надобно — моя персона не столь уж важная; предпочитаю обсуждать суть статьи)
с ув. --De Riban5 12:42, 4 ноября 2014 (UTC)

Постарайтесь понять: тригонометрическая функция есть функция угла и только угла, а способ измерения этого угла не играет никакой роли. Про хорды см. статью История тригонометрии, там всё сказано. Радианов у индусов не было и не могло быть, это понятие появилось только в XVIII веке. Если понять правильную позицию вам затруднительно, то, наверное, не стоит вам править статьи по темам, где вы некомпетентны. На этом я, наученный горьким опытом, прекращаю нашу дискуссию. LGB 12:53, 4 ноября 2014 (UTC)

понятие [радиан] появилось только в XVIII веке [?!?] - а что было до этого (?), в т.ч. у индусов (а также в VIII в., и у Птолемея (?); в каком веке мы сейчас пишем wiki? не в XXI ли?!?)?? (И когда появились градусы? или что там у вас…) Мы изначально говорили не про функции (мы до них ещё не дошли; о них речь впереди), а про УГОЛ!!
Если понять правильную позицию вам затруднительно, то, наверное, не стоит вам править статьи по темам, где вы некомпетентны.
…правильную позицию — почему вы решили так? (а может она не полная… вы не допускаете этого?) вам кто-то сказал так, или вы сами так думаете??? …некомпетентны — хочу поинтересоваться у компетентного человека (я как мало(не)компетентный… я не волшебник /гуру/, а токмо учусь), — эт вы сами лично /единолично/ так решаете??? я для себя это хочу понять
Да и вопрос, когда вы делите сторону на сторону (треугольника) либо же, что абсолютно одно и то же, хорду/дугу или луч на радиус [т.е. по сути все на тот же луч], или же радиус на дугу, то есть метр на метр (или сантиметр на сантиметр, либо километр на километр) — что вы получаете, какое измерение/меру?? и что получали индусы??? ?!? (IMHO, история [в т.ч. будущее] к этой галоше/каше не имеет никакого отношения) с почтением --De Riban5 13:21, 4 ноября 2014 (UTC)
«ваша вставка „измерим углы (выраженные в радианах) как повороты и т.д. <…>“ бессмысленна, потому что следующее далее определение совершенно не зависит от того, как и чем измеряется угол. Функция просто сопоставляет конкретному углу конкретное значение, а радианы там или артиллерийские деления, это фиолетово.» — почему вы так считаете (?), обоснуйте. …а способ измерения этого угла не играет никакой роли. Объясните мне некомпетентному «чайнику» (ведь я могу заблуждаться/ошибаться, не знать, путать, допустить очепятку, — лат. Homo sum, humani nihil a me alienum puto) ), чем может выражаться (измеряться) угол (просто угол), в т.ч. применительно к функциям f / f⁻¹ (sin / arcsin) в XXI в. — 5.XI.2014? с ув. --De Riban5 13:27, 5 ноября 2014 (UTC)
Почитаем статью Тригонометрические функции, обратите внимание в чем выражается мера/измерение углов? Не в радианах ли (преимущественно, большей частью не переведённых в градусы)? …следующее далее определение совершенно не зависит от того, как и чем измеряется угол… так зависит ли определенная размерность углов?? Вот эти все радианы во всей статье не уместно ли снабдить пометой (примечанием), что абсолютно не важно в чем измеряется угол? с ув. --De Riban5 11:00, 7 ноября 2014 (UTC)

Предлагаю следующее: вставку „«измерим углы (выраженные в радианах) как повороты и т. д. …» бессмысленна, потому что следующее далее определение совершенно не зависит…“ мы ставим обратно, проставляем источник. Кстати, в источнике речь идет практически об одном и том же, т.е. не бессмысленно, поскольку дальнейшее определение учитывает (незнамо зависит/не зависит) угол поворота по/против часовой стрелки. Вы можете при этом дополнить свою помету, что мол не зависит… Если вы знаете больше нашего, дополняйте. Если я пишу, то я, наверное, знаю што пишу (читал когда-то несколько месяцев/десятилетий назад и/или в школе/институте). И… сказали А, говорите Б . Мы с вами работаем над одним большим хорошим делом — наполнением/дополнением Википедии (лат. gratis). Как математику могу порекомендовать, научитесь уважать мнение оппонента-собеседника [и конструктивную критику], даже если оне идёт вразрез с вашим (возможно и правильным). С уважением --De Riban5 15:01, 7 ноября 2014 (UTC)

Первые три фразы образуют какую-то безграмотную (незнамо, што и др.) словесную кашу, смысла которой я не понял, но ссылку на источник в статью вставил (Справочник Выгодского). Ни о каких радианах в определении Выгодского не упоминается. Теперь ваша очередь — приведите точную ссылку на АИ, где определение тригонометрических функций содержит ваше дополнение «углы выражены в радианах». Если не будет ответа по существу, буду считать, что вы признали мою правоту. LGB 17:15, 7 ноября 2014 (UTC)

Вы дома/на работе тоже общаетесь по строго правильному стилю? почему-то не думаю так… но, Надеюсь, вы меня поняли (в противном случае, можно переспросить)
Если не будет ответа по существу, буду считать, что вы признали мою правоту?!? --De Riban5 10:55, 10 ноября 2014 (UTC)

Попытка фальсификации источника со стороны De Riban5

De Riban5 вставил в статью текст:

Всякий угол, выраженный в радианной мере $0\leqslant \alpha \leqslant 2\pi$, можно рассматривать как поворот от положительного направления оси абсцисс до некоторого луча...

При этом он указал сноску: Энциклопедический словарь математика/ Ред. коллегия, Гнеденко Б.В. (гл. ред.), Савин А.П. и др. — М.: Педагогика, 1985. — С. 301. — 352 с.

Проверка показала:

1. Книга называется «Энциклопедический словарь юного математика».
2. Правильный текст в этой книге гласит:

Если $\varphi$ — угол между радиусами ОС и ОА, выраженный в радианах, $0\leqslant \varphi \leqslant 2\pi$ (угол отсчитывается в направлении от ОС к ОА), то координаты точки А называются соответственно косинусом и синусом угла $\varphi .$

Таким образом, в предложенной De Riban5 вставке смысл текста искажён. В источнике слова «выраженный в радианах» относятся к аргументу вещественных тригонометрических функций. В передаче De Riban5 получается, что угол можно рассматривать как поворот только если он выражен в радианной мере. Кроме того, вставка дезориентирует читателя, так как наводит его на мысль, что тригонометрические функции определены только для радианной меры аргумента. Давно ли запретили градусную меру? LGB 12:26, 8 ноября 2014 (UTC)

По-вашему мнению смысл текста искажён!?! Не путайте (не сбивайте меня, я сам собьюсь; да и обнаружили пропуск/очепятку — исправили, и пошли дальше конструктивно работать…). В источнике слова «выраженный в радианах» не относятся к аргументу вещественных тригонометрических функций (табличным значениям) — а к углу (внетабличному значению). Это в вашей интерпретации получается, что угол можно рассматривать как поворот только если он выражен в радианной мере. Зачем вы явно искажаете изначальный смысл? ВП:ПДН — не будьте так строги. Кроме того, вставка явно (или косвенно) наводит на мысль, что тригонометрические функции /табличные значения/ определены [в т.ч. и] только для радианной меры аргумента (и [в т.ч.] только для для них, наверное; может я не прав?!?). На-счёт Давно ли запретили градусную меру? — а давно ли её ввели??? И не из радианной ли (системной международной) меры получаются все прочие остальные — артиллерийские деления, азимуты (геодезия), румбы (морская навигация), и ваши/наши градусы? с ув. --De Riban5 12:58, 8 ноября 2014 (UTC)
Ещё раз вопросик: когда вы делите сторону на сторону (треугольника) либо же, что абсолютно одно и то же, радиус [т.е. тот же луч] на хорду/полухорду (синус)/дугу или луч, то есть метр на метр (или сантиметр на сантиметр, либо километр на километр) — что вы получаете, какое измерение/меру?? и что получали индусы??? что получал Птолемей (и при чём тута история?) ?!? В чём, по-вашему, измеряется/выражается радианная мера... то же пи (число)?? Откуда там вообще могут взяться какие-то градусы?? --De Riban5 13:10, 8 ноября 2014 (UTC)

Вы серьёзно считаете, что синусы выражены в какой-то мере, а радианная мера лежит в основе остальных, гораздо более древних? Похоже, мне с вами спорить бессмысленно. Давайте приглашайте посредника из числа опытных википедистов-математиков, пусть он рассудит. До его решения, если ваши попытки испортить статьи, за которыми я наблюдаю, будут продолжаться, я буду вынужден обратиться в Администрацию и потребовать вашей блокировки. LGB 13:21, 8 ноября 2014 (UTC)

• Тут похоже перепутаны два-три понятия. Есть физическая величина — угол поворота, которая обычно измеряется в радианах (Производные единицы СИ), так как это сильно упрощает одни формулы (но усложняет некоторые другие). Есть еще угол — геометрическая фигура. Но в обиходе (в том числе инженерном) «Часто для краткости углом называют также угловую меру, то есть число, определяющее величину угла.» (из статьи угол). Что именно коллега De Riban5 имел в виду непонятно из-за многозначности слова «угол» (и такое ощущение, что телега поставлена впереди лошади: чисто с дидактической точки зрения лучше говорить сначала об угле, а уже потом — о его мере, указав, имеется ли в виду градусная мера или радианная). В определении из Справочника юного математика из контекста понятно, что «угол» в данном случае — угол между лучами ОС и ОА, а его угловая мера $\varphi$ такая-то. В энциклопедии я конечно же посоветовал бы избегать неоднозначных понятий, используя термины явно. То есть, коллега LGB правильно заметил, что смысл слегка искажён. Дальнейших доводов я не понял. РоманСузи 13:58, 8 ноября 2014 (UTC) PS. «Тригонометрическая функция есть функция угла». Тригонометрическая функция есть функция действительного (или компле́ксного, если хотите) аргумента. Перед тем, как в нее можно засунуть угол, нужно получить угловую меру этого угла в радианах — а это действительное число. Да, микрокалькуляторы умеют считать синусы в градусах и градах (для удобства пользователя), но настоящий sin(x) работает только с числами. Надеюсь, из изложенного можно разрешить спор выше. РоманСузи 14:14, 8 ноября 2014 (UTC) PPS. Разумеется, можно рассматривать, скажем, синус и как функцию угла, так как (плоский) угол, скажем, угол поворота, однозначно определяет угловую меру в радианах, а потому такое определение будет корректно. Важно лишь в каждом случае понимать, что имеется в виду. РоманСузи 14:28, 8 ноября 2014 (UTC)

Похоже дискутировать всегда имеет смысл. Вы серьёзно считаете, что синусы выражены в какой-то мере, … — наверное, но не в градусной же?!? (ссылку см. в #Нужна история вопроса и "объяснение на пальцах" ; давайте оставим функции /sinus/ в покое, забудем о них; поговорим об угле) …а радианная мера лежит в основе остальных, гораздо более древних? — а есть другие мнения? (см. Система СИ). Полемика в свете истории [первичности] градуса и/или радиана — что более древне́е — может быть похоже (?) на спор «Курица или яйцо». потому что следующее далее определение совершенно не зависит от того, как и чем измеряется угол — потому, что он измеряется радианами (радианной мерой). а способ измерения этого угла не играет никакой роли — потому как он определён посредством радианов… Функция просто сопоставляет конкретному углу конкретное значение, а радианы там или артиллерийские деления, это фиолетово — опять же, поскольку все деления/альтернативные меры выражаются через радианы (а через них вы получете всё/все остальные). Изначально — ≈ (3–)4 тыс. лет назад (древний Египет… классические задачи древности: Задача о квадратуре круга/Трисекция угла) — полукруг (развёрнутый угол) или круг (полный угол) поделили на радиус или диаметр соответственно (…& соотношения между хордами в круге; см. в т.ч. у Клавдия Птолемея). и получили кроме Пи, в т.ч. и радианы (выражавшиеся словесно ввиду отсутствия в то время общепризнанной математической символики). В то же время (или ≈ в то же время; в древнем Вавилоне) полный круг (окружность) поделили на условные 360° (один градус составлял шестидесятую часть „птолемеевского“ радиуса [равным 60 единиц], точнее ≈57,3-ю часть [равным 57,3 единиц]; точнее 1/360 круга); 360° (полный круг с условными 360 делениями) поделили на 2π и получили радиан /безусловный/ в градусном измерении (условно, относительно того что круг имеет условные 360°). С таким же успехом могли ввести условную метрическую 400-градовую систему измерения. Но сам радиан /безусловный/ больше зависит от безусловного π, чем от того сколькими делениями — условными — 360 (vs 400 или же 4) поделена окружность (Выгодский, примечание на стр. 341). Хотя, на самом деле, история к данной проблематике мало имеет отношения: Радианы, предположим, ввели в обиход сотню-две назад, но как безусловно-систематически; Градусы, допустим, — тысячу-две назад, но условная единица от этого не перестаёт быть условной. --De Riban5 11:25, 10 ноября 2014 (UTC)

Выпады

я буду вынужден обратиться в Администрацию и потребовать… и прочие инсинуации — вы могли бы рассмотреть возможность представления меня к поощрению — наприм., дачу у моря или, если быть скромнее, виллу на Атлантическом побережье (я хороший, а вы меня постоянно ругаете…) --De Riban5 12:33, 10 ноября 2014 (UTC)

Касательно путаниц понятий. Думаю, понятия просто не определены — ни в статье Радиан, ни в статье Угол само понятие радиан не определено/не уточнено, где оно применяется и т.п. (может быть и правильно, да не полно). Оно используется в т.ч. в планиметрии/механике (угол поворота), и в геометрии — геометрической фигуре (угол), в полярной системе координат (полярный угол), в интерференции… и в тригонометрии!!! в т.ч. $f(x)/f^{-1}(y)$ — $\sin /\arcsin .$ Да, микрокалькуляторы [научные/инженерные] умеют считать синусы [арксинусы] в градусах и градах (для удобства пользователя), но настоящий sin(x) работает только с числами. — все абсолютно расчеты/перерасчеты пляшут от радианов (мы также уже обсуждали это: Обсуждение:Решение треугольников#Правки de Riban5: Тригонометрия углов, Обсуждение:Решение треугольников#Излишнее и невразумительное пояснение?!?; т.к., также как и Пи, радиан — есть число, даже если оно выражено через градусы $\approx 57{,}29578^{\circ }~(\approx 57^{\circ }17'45'')$ ). Господа, обратите внимание также… Область определения функции $f({\underline {\sin }})$ $[\mathbb {R} ]$ является областью изменения функции $f^{-1}({\underline {\mathrm {arcsin} }})$ $[{\frac {-\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}]$ (в радианах, т.е. в безусловных арифм. числах $\mathbb {R}$), а область изменения (множество значений) функции $f$ [−1; 1] — областью определения функции $f^{-1}$ — зеркально симметричные относительно прямой $y=x.$… Что-то по аргументам вы вроде как поддерживаете мое мнение, а на словах - за участника LGB почему-то?!? (где логика?) Меня особо поддерживать не надобно, высказывайте свою позицию… В [wiki]энциклопедии я конечно же посоветовал бы избегать неоднозначных понятий, используя термины явно. Именно об этом я и толкую уже как бы не первый раз, но услышать меня оппоненту как-то особо не получается/не хочется. с наилучшими --De Riban5 11:34, 10 ноября 2014 (UTC)

«Что-то по аргументам вы вроде как поддерживаете мое мнение, а на словах — за участника LGB почему-то»: никого я не поддерживаю. Стиль обсуждения не позволяет мне понять, о чём собственно спор. Я среагировал на то, что в данном разделе был совершенно точный вопрос, был ли искажён смысл текста и приведены два текста. Вот об этом и возможных причинах я и написал. Что касается определения понятий, то они должны быть определены в этой статье. Определены так, как это нужно для раскрытия темы. РоманСузи 16:01, 10 ноября 2014 (UTC)

По поводу замечаний РоманСузи. Тут не суть важно, как трактовать понятие «угол». Понятно, что в анализе радианная мера господствует, но в данном разделе речь шла о геометрическом определении функций. Фактически мой протест вызвала фраза типа: синус угла есть отношение противолежащего катета к гипотенузе, причём угол выражен в радианах. Казалось бы, каждому понятна нелепость оговорки насчёт радианов, потому что синус, скажем, прямого угла равен 1 независимо от того, чем этот угол меряют. Аналогично с поворотами углов. Я убрал никому не нужную оговорку, чем и вызвал детскую обиду De Riban5. За всю долгую историю наших дискуссий он ни разу не признал, что был неправ, ссылаясь, что в наше время пятиклассники умнее своих учителей. Спорить с ним совершенно невозможно, почитайте его «аргументы» выше. LGB 17:35, 10 ноября 2014 (UTC)

Мы и говорим о геометрическом определении функций! На самом деле: «Всякий угол [ в радианной мере; до функций там ещё далеко — они гораздо ниже по тексту] можно рассматривать как поворот от положительного направления оси абсцисс до некоторого луча $OB$, …»; впрочем и ваша перекрученная фраза типа: синус угла есть отношение противолежащего катета к гипотенузе, причём угол выражен в радианах… сохраняет смысл, потому што углы [все угловые меры] действительно выражаются через радианы же… потому что синус, скажем, прямого угла равен 1 независимо от того, чем этот угол меряют — независимо, потому что все измерения альтернативные (через переводные множители) измеряются радианами. В геометрии основное свойство любой меры любого угла [наприм., в подобных треугольниках] должно заключаться в том, чтобы равные углы имели оговоренную одинаковую меру. За всю долгую историю наших дискуссий он ни разу не признал, что был неправ [наверное, не неправ, а возможно неправ; вы ж математик] — <Ctrl> + <F> (Правка → Поиск → Найти), т.е. найдите фразы: « я могу » и « может я ». Да… и почитайте аргументы выше также участника LGB. (я привёл не мало доводов, в пользу своей правки + источник, оппонент LGB по кругу повторяет одно и то же и объяснить смысл отката чётко (с толком), с чуством, с растановкой, лат. lege artis похоже не может; эт уже как бы не впервой) --De Riban5 11:06, 11 ноября 2014 (UTC)

Казалось бы, каждому понятна нелепость оговорки насчёт радианов, потому что синус, скажем, прямого угла равен 1 независимо от того, чем этот угол меряют. По свойствам комплементарности $\sin {\frac {\pi }{2}}=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-{\frac {\pi }{2}}\right)=\cos 0=1.$ Логичней говорить о угле, стремящимся (как предел) к 90°/0° (0 (0°) он и в Африке 0, соглашусь, чем/как бы вы его не меряли; два прямых угла, также как и два одинаковых острых угла (стремящихся к 0), в прямоугольном треугольнике быть не могут (учитывая, что $\sin \alpha ,~\cos \alpha$ одновременно не могут быть равны $0$) — поэтому не совсем корректно говорить о синусе прямого угла [тангенс которого #Не существует], Выгодский, примечание на стр. 344). Можно было б привести угол 45°: $\sin {\frac {\pi }{4}}=\cos {\frac {\pi }{4}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}},\mathrm {tg} \,{\frac {\pi }{4}}=\mathrm {ctg} \,{\frac {\pi }{4}}=1,\sec {\frac {\pi }{4}}=\mathrm {cosec} \,{\frac {\pi }{4}}={\sqrt {2}}.$

Я не сомневаюсь, что вы искренно верите в то, что говорите. То, что вы меня не можете/не хотите услышать, тоже понимаю, т.к. также человек, и тоже русский. Мы также верим, что вы в любом (?) случае останетесь при своём мнении, — посему готовы склонить шляпу перед русскими национальными причудами. …Нет источника — откат, с источником — тоже откат [правки], — вам чем-нибудь можно угодить?… при том, что со стороны оппонента нет ни доводов/аргументов, ни источника.
Радианы — отвлечённое число (безразмерное), безусловное, безотносительное понятие, рациональное (абсолютное), систематическое (стандартное-системное: строго математика), но малоупотребительное. Из соображения удобств и укоренившихся привычек приняты также градусы (и проч.) — именованное число, условное (как говорят в славном городе-герое: понятие растяжимое), относительное понятие, традиционное, специальное [то бишь предрасудок], но широко-распространённое. Все условные — градусы, грады, румбы-азимуты (азимут (геодезия)/азимут (астрономия) и азимуты (артиллерия)) и т.д., удав („окружность“) измереный попугаями (из мультфильма)… — вы получаете посредством/напрямую из безусловного… Из той же оперы пара(ы) соответствия безусловное/условное: Па/атм, Па/мм рт. ст., Дж/кал, K/°C… С ув. --De Riban5 11:25, 11 ноября 2014 (UTC)--De Riban5 11:25, 11 ноября 2014 (UTC)

Касательно функций. Вы серьёзно считаете, что синусы выражены в какой-то мере — Синусы выражены в пропорциональных отношениях [сторон прямоугольного треугольника], типа как относительные проценты, т.е. што и есть радианы («обратные, вывернутые радианы») или ≈ радианы [обратные (истинным) радианам из графика аркфункций] (Тригонометрические функции#Ссылки: «Синус и косинус — это проценты»; Угол#Угловая мера — последний абзац „малые углы…“). Возьмите [образно, в воображении] тригонометрический круг-единичную окружность, постройте угол 1° (5°). У вас получится приближённо синус (линия синуса/полухорда) равна дуге, а дуга равна примерно тангенсу (линии тангенса/касательной). Относительно того что мы берём полухорду (синус x), то соответственно берётся полудуга, но мы для простоты называем её дугой. А дуга и есть аркфункция арксинус, т.е. углы в радианах (в т.ч. на единичной окружности). Возьмите прямоугольную систему координат и графики, соответственно, синусов и обратных арксинусов для углов 1° — 5° $($… $\approx 5^{\circ }43'46'').$ Т.е. углов 0 — 0,01 — 0,1 rad. На этих графиках вы легко усмотрите тождество sin α ≈ tg α ≈ α [rad], что есть также = arcsin α = arctg α (α = всё в радианах). То есть $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\mathrm {tg} \,x}{x}}=1$ (при стремлении $x$ к нулю имеет место неопределенность вида 0/0). Выше числовых значений 0,1 rad (≈ 6°) графики расползают вправо /по синусоиде/ и ввысь соответственно. Можете взять таблицы тригонометрических/обратных тригонометрических функций, и убедиться в данном соответствии [таблицы, где внетабличные значения переменных (углов) указаны и в градусах, и в радианах]. Да, по ходу, вы знаете это не хуже меня. с наилучшими пожеланиями --De Riban5 12:50, 11 ноября 2014 (UTC)

Я предлагаю вторично компромисс…
Мы пишем текст с источником, … и с вашей вставкой (примерно след. обр.):

Всякий угол, выраженный в радианной мере $0\leqslant \alpha \leqslant 2\pi$
 (или, впрочем, независимо от меры углового измерения),
 можно рассматривать как…

С ув. --De Riban5 11:31, 12 ноября 2014 (UTC)

Спасибо, порадовали. Предложенный вами вариант логически эквивалентен такому: «Всякий угол, выраженный в радианной или любой другой мере, можно рассматривать как…». А эта фраза, в свою очередь, по всем правилам логики, эквивалентна такой: «Всякий угол можно рассматривать как…». Но именно этот вариант стоит сейчас в статье. Если нет разницы, зачем платить править больше?

Юноша, «я тебе умный вещ скажу, только ты не обижайся». Соберитесь с силами и имейте мужество признать, что предложенное вами придаточное предложение о радианной мере бесполезно, бессодержательно и только сбивает с толку читателя. Мужской метод спора отличается тем, что мужчина, в отличие от блондинки из анекдотов, допускает, что он может быть неправ. Я сам неоднократно в ходе разных обсуждений приходил к выводу, что точка зрения оппонента более обоснована, чем моя, и не считал это личным оскорблением. LGB 11:48, 12 ноября 2014 (UTC)

Эт ваша субъективная логика, хотя смысл и в ней есть («выраженный в радианной или любой другой мере», т.е. независимо, — то, о чем вы мне твердите; спор-дискуссия касался именно этого или, т.е. независимо): Всякий угол, выраженный в радианной или любых других [альтернативных] мерах,… каковые, в свою очередь, в любом случае зависят именно от безусловной радианной меры;
то бишь смысл вставки «(или, впрочем, независимо от меры углового измерения)» похоже теряется,
таким образом, вставка „Всякий угол, выраженный в радианной мере“ сохраняет свой логический смысл.
…что предложенное вами придаточное предложение о радианной мере бесполезно, бессодержательно и только сбивает с толку читателя, потому что… — обоснуйте, будьте так добры! По поводу остального …допускает, что он может быть неправ — вы или не читаете (не слушаете)? или не слышите? я правильно понимаю (?), что у вас не хватает мужества (из „настоящего Мужского метода“) признать свою неправоту? (я не совсем имею представление/не помню о девушке-блондинке из анекдота; но помню, что спорить мужчине с мужчинами можно, не желательно спорить — лучше признать свою неправоту — в разговоре с девушкой, — как в классическом высказывании Мишуни Лермонтова («Г-ну П…»); Карнеги не советует спорить, но без споров мы не имели бы Лобачевского, научных споров типа Бертоле vs Дальтон (бертоллиды vs дальтониды)…) Посему склонить ли шляпу перед вашей «правдой» (в кавычках) (?). С ув. --De Riban5 12:49, 12 ноября 2014 (UTC)

Зачем же требовать мужества только от оппонента? Покажите, что и у вас оно есть. Поясните для начала, чем вас не устраивает существующая сейчас в статье формулировка. Тем, что в ней не упомянуты радианы (других отличий от вашего варианта я не усматриваю)? Так вы же сами согласились, что от угловой меры ничего не зависит, так что на кой её упоминать. Ну и о чём тогда спор? Улыбнёмся друг другу и разойдёмся красиво. LGB 13:01, 12 ноября 2014 (UTC)

Вы мне говорите, положим, $\sin 90^{\circ }=\cos \left(\llcorner -{\frac {\pi }{2}}\right)=\cos 0^{g}=1$ (ералаш-каша?!?), я вам показываю $\sin {\frac {\pi }{2}}=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-{\frac {\pi }{2}}\right)=\cos 0\left(rad\right)=1.$ Давайте договоримся об однозначности понятий (→ к общему знаменателю), как это принято, в частности в тригонометрии…

Поясните для начала, чем вас не устраивает существующая сейчас в статье формулировка. Вы, как среднестатистический читатель, предположим, решили восполнить свои знания по математике. И/или для практических целей — тригонометрически найти угол — открыли статью в wiki Тригонометрические функции. В статье/в разделе идет первое [одно из первых] вхождение понятия угол — геометрический объект (геометрическая фигура), каковая имеет определенную [арифметическую] меру (меры) измерения. И вот, вы не зная/забыли в чем он измеряется [и какая мера используется преимущественно в тригонометрии], читаете далее всю (почти всю) статью, где какие-то $\pi ,n\cdot 2\pi ,~{\frac {\pi }{n}}$ и проч. радианы, о которых вы только догадываетесь, и имеете мало представления. А радианы указываются (наприм., в т.ч. в Энциклопедическом словаре) для того, чтобы указать то факт что в тригонометрии — Тригонометрические функции/Обратные тригонометрические функции (…Теорема синусов, Теорема косинусов, Синусоида, …аргумент комплексного числа z (угол $\varphi$) в тригонометрической записи), Тригонометрические уравнения (в т.ч. уравнения, которые не являются тригонометрическими, но при исследовании которых используются свойства тригонометрических функций)/Тригонометрические неравенства (системы уравнений…), Интегральные тригонометрические функции и проч. — используется радианная мера измерения углов. В энциклопедии я конечно же посоветовал бы избегать неоднозначных понятий, используя термины явно (уч. РоманСузи). Более того, этого требует правила Википедии, что при первом вхождении понятия в тексте статьи (несмотря на присутствие её внутренней ссылки), можно дать ему краткую характеристику… С наилучшими --De Riban5 12:35, 13 ноября 2014 (UTC)
Может я был где не прав, может задел чьё-либо самолюбие (так как такой же человек) — извиняюсь. с ув. --De Riban5 13:10, 13 ноября 2014 (UTC)

Если среднестатистический читатель захочет узнать что-то про угол, он откроет статью Угол, а не Тригонометрические функции. Если вы хотите впихнуть в определение синуса упоминание о радианах, предложенное выше, то с тем же успехом надо изменить формулировку, скажем, теоремы Пифагора на что-то вроде такой:

Сумма квадратов длин катетов прямоугольного треугольника в метрах (впрочем, независимо от меры длины) равна квадрату длины гипотенузы.

Вы скажете, что это форменная глупость и будете совершенно правы. Но чем это лучше предложенного вами варианта?

Впрочем, мы зря спорим. В Википедии, согласно правилам, аргументом спора являются АИ и только АИ, а мы с вами (пока) к таковым не относимся. Посмотрим, как определяются тригонометрические функции в самых авторитетных АИ.

• Большая советская энциклопедия, 2-е изд., том 43, стр. 229 (см. тут, формат DJVU).

Для определения Т. ф. рассматривают окружность радиуса 1 с двумя взаимно перпендикулярными диаметрами А'А и В'В. От точки A по окружности откладываются дуги произвольной длины, к-рые считаются положительными, если откладываются в направлении от А к В (против часовой стрелки), и отрицательными, если они откладываются в направлении от А к В' (по часовой стрелке)… cos и sin могут быть определены как прямоугольные декартовы координаты точки С, лежащей на дуге окружности единичного радиуса, центр к-рого в начале координат, ось абсцисс направлена по диаметру А'А, а ось ординат—по диаметру В'В.

• Советский энциклопедический словарь 1982 г.

Тригонометрические функции — функции угла. Их можно определить как отношение длины проекций на оси координат радиус-вектора, образующего с положительным направлением оси X угол $\alpha .$

Число цитат можно умножить, но уже ясно, что самые веские АИ при определении Т. ф. ни словом не упоминают радианы. Место радианам — при описании аналитических свойств этих функций, а не в определении.

Обращаю также внимание на то, что Советский энциклопедический словарь ясно указывает, что Т. ф. есть функции угла, именно угла как инвариантного геометрического понятия, а не его радианной или какой бы то ни было иной меры. Вы можете считать, что Словарь юного математика авторитетнее БСЭ, но правила Википедии диктуют иное. Предлагаю на этом нашу затянувшуюся дискуссию завершить. LGB 18:38, 14 ноября 2014 (UTC)

Случай с Суммой углов [в N-ной мере] треугольника равно 180° — наверное, тот же, соглашусь. Может быть лучше было привести: Дуга окружности (& Центральный угол) и Сектор (геометрия) (да и Сегмент (геометрия)), обе — и длина дуги, и площадь кругового сектора [то есть углы в формулах] — определяются и радианами, и градусами. Зачем (?!?) при формулах указания, в какой мере он - угол - измеряется???
Возьмём, к примеру, неэвклидову геометрию. Разность между 180° и суммой углов треугольника ABC в геометрии Лобачевского положительна; она называется дефектом этого треугольника. Оказывается, что в этой геометрии площадь треугольника замечательным образом связана с его дефектом: S_ABC = k•D_ABC, где S и D означают площадь и дефект треугольника, а число k [т.е. переводный множитель] зависит от выбора единиц измерения площадей и углов. Примерно то же с теоремой Пифагора — без [обязательного?] задействования переводного множителя можно (?) мерять стороны точками, линиями, дюймами… не удивлюсь, если теорема Пифагора в английской системе мер работает с футами. Но в нашем случае, теорема, вероятно, по умолчанию в метрах. Условные градусы, также как и условные метры, равно как и условные мили (у Даля: [3], [4]) из теоремы Пифагора — условные (не безусловные) единицы длины, они привязаны к определённым условным размерам [радиуса и окружности] Земли; градус + к орбите Земли же. …Но в тригонометрии мы меряем углы в градусах только с [обязательным] задействованием переводного множителя (и радиан не зависит ни от каких условий/переводных множителей, он будет одинаков и в Африке…, и в атоме (валентный угол), и в теннисном шарике, и в футбольном мяче, и в радиусе Земли, Солнца, Солнечной системы… да где угодно)
Если читатель возжелает найти угол (по двум известным, наприм., сторонам), он в любом случае прийдет в статью Тригонометрические функции.
…что самые веские АИ при определении Т. ф. ни словом не упоминают [?] радианы [?!?]. Место радианам — при описании аналитических свойств этих функций, а не в определении [?]. — и они, радианы, фигурируют у вас в любой (почти любой!) литературе по тригонометрии, учебниках по математике/геометрии (разделы Тригонометрии) — и при описании свойств функций/аркфункций, и в определении угла!.

Так как центральный угол в радианной мере измеряется тем же числом, что и дуга (радиус окружности равен единице), то cos α и sin α можно рассматривать как косинус и синус угла. Вообще под аргументом Т. ф. принято понимать число, которое можно рассматривать геометрически как длину дуги или [синоним] радианную меру угла. Если аргумент Т. ф. рассматривают как угол, то его значение может быть выражено и [!как вариант!] в градусной мере. Для острых углов $\alpha \left(0<\alpha <{\frac {\pi }{2}}\right)$, и только для них, Т. ф. cos α и sin α можно рассматривать как отношение катетов прямоугольного треугольника, прилежащего углу или противолежащего углу, к гипотенузе.

— БСЭ (общая энцикл.; не-математика)
(Тригонометрические функции#Литература)

Постановка вопроса: «В тригонометрии применяется радианная мера измерения углов». Мое утверждение — [большей частью] в тригонометрии применяется преимущественно радианная мера. Ваше мнение? С почтением --De Riban5 11:38, 15 ноября 2014 (UTC)

Предварительный итог

• Обсуждение уже превысило рекомендуемый размер хорошей статьи, а вопрос, в общем-то, пустяковый. Так как выбор единицы измерения угла не влияет на определение, то отмены Служебная:diff/66579975 и Служебная:diff/66667821 следует считать корректными. Инженеры чаще работают с градусами, иногда — с оборотами (бывает и такое), математики — с радианами, о том что в математике для тригонометрических функций используются радианы — в статье указано по месту (последний абзац секции «геометрическое определение»), так что каких-то других добавлений про «радианность» (пусть даже и улучшающих дидактические свойства текста) — не требуется, bezik° 14:28, 15 ноября 2014 (UTC)

• Хочу заметить, в ру-вики почему-то прямо в определении не сказано, что тригонометрические функции — функции углов. Там делается (на мой взгляд — неудачная) попытка ввести «историю». Что касается спора о радианах, то в своё время и авторы учебников спорили по схожему вопросу, в Справочнике Выгодского 1965 года в параграфе «Радианное измерение углов»:

Во многих учебниках тригонометрии усиленно подчеркивается, что при радианном измерении углов величина угла измеряется отвлеченным числом. Создающееся при этом противопоставление радианного и градусного измерений лишено всякого основания. И в радианной и в градусной системе угол измеряется единицей угла. То, что наименование в одном случае (для градуса) проставляется, а в другом (для радиана) подразумевается, не играет ровно никакой роли

Если т. ф. — функции угла (как утверждается в источниках и в других языковых разделах), то единица измерения, как заметил коллега LGB, «отдыхает». Я себе представляют это таким образом, что на вход функции поступает геометрическая фигура (плоский угол) из некоторого бесконечного множества углов, а на выходе — число. Но в преамбуле рассматриваются «углы», которые неизвестно как определены, и еще и говорится о кратных Пи углах и т. п., то есть туда же примешано определение из мат. анализа. Далее. «Всякий угол можно рассматривать как поворот…» — это ясности не вносит, так как поворот определяется сложнее угла и через тригонометрические функции… Я могу только констатировать, что в настоящем виде преамбула и некоторые части статьи непоследовательны и некорректны как с дидактической, так и с математической точки. В остальном согласен с коллегой bezik. РоманСузи 16:02, 15 ноября 2014 (UTC)

Во многих учебниках тригонометрии усиленно подчеркивается, что при радианном измерении углов величина угла измеряется отвлеченным числом. Создающееся при этом противопоставление радианного и градусного измерений лишено всякого основания. И в радианной и в градусной системе угол измеряется единицей угла. То, что наименование в одном случае (для градуса) проставляется, а в другом (дли радиана) подразумевается, не играет никакой роли.

Единственный разумный смысл вышеупомянутого утверждения заключается в том, что радианная мера угла, выражаясь отношением двух длин, совершенно не зависит от выбора единицы длины [и не зависит от (любых) переводных множителей]. Но и градусная мера угла не зависит [?!?] от этого выбора; более того, она тоже есть отношение двух длин, именно, длины дуги, описанной из вершины угла и заключенной между его сторонами, к 1/360 [как обязательного переводного множителя] части дуги окружности того же радиуса. Это отношение ничем не хуже отношения той же дуги к её радиусу

— Выгодский, примеч. стр. стр. 341, 344

Но и градовая (условная) мера угла не зависит от этого выбора [но зависит от условного переводного множителя] — параллельно (?)… и любая другая (условная)?!? Речь ишла о том, что угол имеет /должен иметь/ оговоренную меру измерения! тригонометрия радиан, trigonometry radian… И в БСЭ, и в Энциклопедическом словаре юного математика о том же речь; участник LGB утверждает, что [и] в них искажён смысл (?!?).
Если угол рассматривать как поворот (угол поворота, вращение) то его логичней мерять градусами, градами, азимутами (теми же градусами), румбами, прямыми углами и его долями (есть и такая мера измерения d, схожая с румбами), его же меряют и радианами в т.ч.; ежели угол рассматривать как пройденное расстояние (по дуге), его измеряют радианами (…и попугаями меряют удава (из советского мультфильма)), — безусловная единица измерения может быть только одна. Если угол, допустим, взять в 1 rad (в уме, по памяти, мы сразу = 57,29578°; угол в любой мере и в Африке будет один един (в данном случае согласен)), а радиус равен единице (условной), или 57,3 мм, или 57,29578 км — то длину расстояния [дуги] оцените сами… (Радиан#Ссылки)
Хотим мы этого или нет, вся тригонометрия де-юре & де-факто завязана на радианах — радианном измерении углов (соотношении длин расстояний). Впрочем, аксиома-догма LGB «измерение углов не имеет роли» (больше похоже на правило-теорему?!?) на суд участников — Обсуждение проекта:Математика#Измерение углов в Тригонометрии — радианное --De Riban5 11:43, 16 ноября 2014 (UTC)

Статья Тригонометрические функции, конечно, далеко не шедевр, но определение понятия угла не является её предметом. Имеющееся в статье сейчас определение соответствует основным АИ, в том числе БСЭ, СЭС и справочнику Выгодского. Мы можем потребовать указания АИ и соответствия им в остальных частях статьи, но как раз определение тут в выгодном положении. Убедительно прошу убрать шаблон Чистить и выразить свои пожелания каким-либо иным способом, потому что в противном случае De Riban5 воспримет шаблон как индульгенцию для своих правок и загубит статью окончательно. Лекарство не должно быть хуже болезни. Или предложите свой собственный вариант модификаций, с вами, в отличие от некоторых других, можно цивилизованно дискутировать. LGB 16:42, 15 ноября 2014 (UTC)

Я же не говорил, что старые правки De Riban5 шли в нужном направлении (хотя я верю в добрые намерения De Riban5 и полагаю, что все мы чему-то научились в данной дискуссии). Пока что не могу заняться данной статьёй (эта статья требует большой моральной подготовки и надёжных источников), но я бы для начала просто перевёл определение из англовики, отодвинув «исторические сведения» вниз или вообще бы их пока что убрал оттуда, заявив, что функции можно определить такими-то методами, дав переходы на разделы. Что касается шаблона — понизил его видимость, использовав rq. Во всей этой работе (как всегда с вещами, которые используются в огромном количестве дисциплин) нужно быть осторожным не только с отдельными утверждениями, но и с ходом изложения. Какой-нибудь инженерный источник может вводить понятия в удобном для практики порядке, школьный — в дидактически обоснованном порядке, труд по основам математики — в порядке, обычном для обоснования основ математики, труд по истории математики — в хронологическом порядке, а статья Васи Пупкина — просто в порядке потока сознания этого автора. (Я однажды наблюдал спор двух участников — Обсуждение:Пробит-регрессия, — который как раз и был вызван разностью подходов). У меня нет никакого предпочтения (может быть чуть-чуть в сторону «школьного» порядка — статья-то научно-популярная), лишь бы не было круговых определений и вводимые с опережением понятия были бы сведены к минимуму. РоманСузи 17:33, 15 ноября 2014 (UTC) Про угол. Да, определение угла не является предметом данной статьи, но мы не можем в случае с таким несколько неоднозначным понятием, являющимся к тому же входом для т. ф. просто отослать к другой статье. Определение угла должно быть настолько, насколько оно необходимо, чтобы статья выглядела логически-целостной, а не набором разносортных утверждений. РоманСузи 17:37, 15 ноября 2014 (UTC)

…и полагаю, что все мы чему-то научились в данной дискуссии — Спасибо на добром слове (хоть кто-то заметил позитив; да и мы научились чему-то). Удачи! --De Riban5 10:37, 17 ноября 2014 (UTC)

---

Простите, встреваю. Как мог, внимательно прочитал дискуссию. Сделал выводы, коллега Де Рибан - начинающий математик, дай Бог ему получить в этой науке выдающиеся результаты.

Но, пока, он агрессивный ниспровергатель основных определений планиметрии. Жаль, что ему здесь не пояснили, (или я упустил, пояснили?) что радианная мера углов возникла в математике только после того, как угол, определяющий геометрические отношения отрезков в прямоугольном треугольнике стал аргументом математических аналитических тригонометрических функций, возможно, от работ Фурье? Или раньше? Окончательно, с работ Эйлера по экспоненте комплексного показателя. Отсюда сразу разложение синусоиды в ряд Тейлора, где единственный способ кратко, без сомножителей, выражать аргумент в радианах.

Древние люди, на заре возникновения геометрии, как науки, понятия не имели про абстрактные, в то время, радианы. Но плоские углы успешно измеряли.

Д.Ильин 17:44, 9 декабря 2014 (UTC).

Но, пока, он агрессивный ниспровергатель основных определений… — Благодарю за лестную оценку, в т.ч. от др. участников. Я стараюсь не опровергать, а предпочитаю констатировать факты!
лат. Ultima ratio. фр. Pardonnez, Очень хороший получается диспут о истории (?!?)! …более уместный, может быть, там (Обсуждение:История тригонометрии)?
По порядку (исторически… первичнее… древнее…; конкретнее — со 2-й стадии): обратные аркфункции (через прямые тригонометрические функции) дают непосредственно прямые [безусловные конкретные] радианы: (1) sin, (2) arcsin, т.е. напрямую радианы, и переход посредством формулы преобразования (3) радианы → градусы (см. Обсуждение:Решение треугольников#Излишнее и невразумительное пояснение?!?). На третьей стадии вводится переводный множитель [формула перехода] из rad в «°»: ${\frac {360^{\circ }}{2\pi }}$; можно на 3-й стадии измерять угол чем угодно — градами, артиллерийскими делениями, и прочей дребеденью (в рамках вашей фантазии), — посредством обязательного (!) переводного множителя из радианов (то бишь из аркфункции, из 2-й стадии). В те изначальные исторические времена множитель [коэффициент преобразования] — назовём его радианный (радианно-градусный) переводный множитель — возможно так не назывался, и/или вообще не назывался, но он как факт был! теоретически (что похоже на софизм/парадокс) градус [и/или переводный множитель (?)] мог появиться раньше радиана, тогда, возможно, надо допустить что градусы появились раньше тригонометрии, т.е. — что практически одно и то же — радианов; но для этого надобно перелопатить литературу 2,5-3-4 тыс. лет назад; не исключено, что изначально углы на заре тригонометрии мерялись не градусами, поскольку они были неудобны, непривычны, и мало-распространены (только лишь в каком-то Вавилоне); …вполне возможно (?), углы в древности измерялись и в радианах, и в градусах. Но сам радиан есть ни что иное как аркфункция, т.е. 2-я стадия! (после вычисления синуса (соотношения сторон… наприм., к гипотенузе — 1-я стадия) и арксинуса (отношение длины дуги к радиусу, т.е. к гипотенузе — 2-я стадия) на выходе мы получаем готовый результат счёта или измерений — готовый угол в фактических [конкретных, прямых] готовых чистых радианах); …и как исторически может 3-й этап появиться раньше 2-го?!? каким образом хронологически в переводном множителе числитель, т.е. градусы, мог появиться раньше знаменателя [известного ≈ 2 тыс. лет до н.э.], т.е. радианов $\left({\frac {2\pi \cdot r}{r}}=2\pi (rad)\right)$ ? …логика?.
Я себе представляю это примерно следующим образом — В древности (в т.ч. в самых первых таблицах Птолемея) углы меряли: хорду (синус двойного угла 2x) и/или полухорду (синус x) меряли по дуге/полудуге, а дуга окружности — есть не что иное как радианная мера измерения в т.ч. центрального угла, т.е. $\equiv$ обратная аркфункция arcsin (практическое значение имело большей частью измерить дугу, т.е. расстояние между светилами/звёздами; а центральный угол (наприм., в градусах) - дело десятое). Радиан, как термин, возможно и не был, но как понятие он был!…
Возможно вы и правы, но мне думается мы здесь говорим не о истории, а о том, как ныне — XXI в. — измерять угол …применительно к тригонометрии (теоретической математике). Переводный множитель (3-я стадия) — это, если можно так выразиться, ≅ прикладная математика (употребление в обиходе, логическо-простом обыденном быту)
То что мы видим в школе-техникуме-институте в тригонометрических таблицах (сотни-тысячи раз), также и в калькуляторах, значения результатов вычислений в градусах — обусловлено удобством и глубоко укоренившейся традицией, и зависит именно от задействования [обязательного] переводного множителя, как 3-й стадии!
Вынужден повториться, давайте посмотрим в статье Тригонометрические функции — во всей статье (также практически в любом источнике), в особенности графики функций [числовых] — каким образом измеряется угол? С наилучшими --Chevalier de Riban 13:25, 12 декабря 2014 (UTC)

Осмелюсь предложить здесь (не настаиваю) — фразу-сироту, вероятнее, вырванную из контекста, вынести в виде [более уместного] примечания, примерно следующим образом (после примечания следующее далее определение совершенно не зависит от примечания и [взаимно] не влияет на него, и не сбивает с толку):

Всякий угол можно рассматривать…

При этом источник указывать для очевидных вещей как бы не обязательно
(определение в примечании #4 сравните, пожалуйста, с определением Цыпкина А.Г.)

--Chevalier de Riban 13:38, 12 декабря 2014 (UTC)

Итог

Прочитал ещё раз преамбулу и первые разделы статьи и предлагаю поддержать итог коллеги bezik и закрыть данное обсуждение. Дело в том, что слово «угол» употреблено в статье в двух смыслах на входе триг. функции: как «геометрический» угол (и нам не важна его угловая мера, так как он используется синусами и косинусами напрямую) и как угловая мера. Как я недавно выяснил (см. мои ссылки на источники в Обсуждение:Безразмерная величина), где-то в середине XX века в среде инженеров и математиков стало принято отвлечённое понимание угловых величин, что сделало их из базовых (как это было исторически) производными и безразмерными. Изменение было в два-три приема зафиксировано в СИ и до сих пор не всеми воспринимается. Таким образом, сейчас «в умах» конкурируют два понимания триг. функций: как (I) функций угла и как (II) в мат. анализе в отвлечённой от геометрического смысла форме действительных / комплексных чисел. В настоящий момент в статье нет необходимости куда-либо дополнительно вставлять радианность меры, так как в геометрических определениях подразумевается вараинт I, являющийся мостиком к современному пониманию — варианту II, где о радианах уже тоже можно не говорить, так как радианы «работают» только когда говорят о «геометрических» углах (и физических величинах). Кстати, заметьте, что преамбула построена в настоящий момент очень удачно, что позволяет обойти вопрос о мере угла вообще, прыгнув сразу в определение из мат.анализа, которое, собственно, и должно интересовать больше всего тех, кто читает статью. РоманСузи 17:15, 28 декабря 2014 (UTC)

Предупреждение от 26 декабря 2014 года

В скором времени формат этой страницы обсуждения будет существенно изменён (в качестве эксперимента). Старые обсуждения будут, по возможности, заархивированы, а то, что ещё актуально, будет перемещено в соответствующее место новой страницы обсуждения. --OZH 18:10, 26 декабря 2014 (UTC)

Не совсем понятно о чём речь. По какому критерию будет отбираться актуальное и старое? Встречал СО на которых простыни (т.е. количества обсуждений/разделов обсуждений) в разы больше. И что понимать под новой страницей обсуждения (?) — эту же страницу? И если архивировать, то всё скопом; см. (<Ctrl> + <F>) # т.е. ссылки-перенаправления с раздела (темы) на раздел. С ув. --Chevalier de Riban 09:18, 28 марта 2015 (UTC)