Обсуждение:Уравнение Дирака

Комментарии в статье

Поскольку и форма с альфа-матрицами ковариантна, и даже довольно явно, вероятно, лучше бы было назвать форму с гамма-матрицами четырехмерной, хотя четырехмерная запись чисто психологически лучше обращает внимание на ковариантность, и таким образом психологически это более явно ковариантная форма.

Это неэнциклопедично, поэтому откатываю обратно. --Илья 09:09, 11 января 2009 (UTC)

Поправил. Так лучше? Сергей Сашов 08:48, 14 января 2009 (UTC)

Так больше похоже на энциклопедию. --Илья 11:06, 14 января 2009 (UTC)

Странно. Для энкциклопедии статья неудачна: тот кто знает об уравнении, матрицах Дирака - легко поймет. Но ему это вряд ли нужно. А для тех кто не знает - это набор малопонятных терминов, одно непнятное описывает другое. Непонятно почему так а не иначе. Думаю, так энцклопедические статьи писать нелепо Уж если писать, чтоб понятней - вероятно было бы неплохо например, воспроизвести эвристическую логику самого Дирака как он построил это уравнение (проведя разложение на множители формулы Е=M*C^2). Это хоть для студентов было бы интригующе... И связать бы ясней с прочими темами КвантМеха. Anton Mih 14:54, 3 марта 2009 (UTC)

Наверное, полезно будет упомянуть уравнение Прока 188.134.34.64 18:09, 27 декабря 2009 (UTC)Dax

Несогласен про не удачность статьи. Я студент, и мне очень понравился вывод. --Mrilluminates 14:44, 2 января 2015 (UTC)

Уравнение Дирака и принцип соответствия

Уравнение Дирака можно обосновать с помощью принципа соответствия. В специальной теории относительности энергия и импульс частицы выражаются через соотношение

$E^{2}=p_{1}^{2}c^{2}+p_{2}^{2}c^{2}+p_{3}^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}$

Его можно, разделив на $E$ обе стороны, преобразовать к следующему виду

$E={\frac {v_{1}}{c}}p_{1}c+{\frac {v_{2}}{c}}p_{2}c+{\frac {v_{3}}{c}}p_{3}c+{\frac {v_{0}}{c}}m\,c^{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$

где величина $v_{0}={\sqrt {c^{2}-v^{2}}}$ , а $v^{2}=v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}$  ;

В самом деле, ${\frac {p_{1}c}{E}}={\frac {mv_{1}c(c/v_{0})}{mc^{2}(c/v_{0})}}={\frac {v_{1}}{c}}\,$ и т.д., а также ${\frac {mc^{2}}{E}}={\frac {mc^{2}}{mc^{2}(c/v_{0})}}={\frac {v_{0}}{c}}\,$;

Уравнение Дирака имеет вид

$i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=(\alpha _{1}{\hat {p}}_{1}c+\alpha _{2}{\hat {p}}_{2}c+\alpha _{3}{\hat {p}}_{3}c+\alpha _{0}\,m\,c^{2})\psi \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$

где $\alpha _{j}$ - матрицы, $(j=0,1,2,3,)$. Из принципа соответствия между уравнениями (1) и (2) следует, что $v_{j}/c=\alpha _{j}$ или $v_{j}=c\alpha _{j}$.

И в самом деле, в квантовой механике показано, что релятивистский оператор скорости $v_{\nu }=dx_{\nu }/dt;(\nu =1,2,3)$ ; имеет вид $v_{\nu }=c\alpha _{\nu }$, т.е. является матричным оператором (см. Борисоглебский Л.А. "Квантовая механика", Минск, изд-во "Университетское", 1988, с.340-342).

Действительно, оператор скорости находится согласно общим правилам дифференцирования операторов по времени

${\frac {dx_{\nu }}{dt}}={\frac {\partial x_{\nu }}{\partial t}}+[H,x_{\nu }]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)$

где $H$ - оператор Гамильтона

$H=\alpha _{\nu }p_{\nu }c+\alpha _{0}m\,c^{2}$

Так как $x_{\nu }$ - оператор координаты - не зависит явно от времени, то $dx_{\nu }/dt=[H,x_{\nu }]$. Подставляя сюда оператор Гамильтона, мы получим

${\frac {dx_{\nu }}{dt}}=[(\alpha _{\mu }p_{\mu }c+\alpha _{0}m\,c^{2}),\,x_{\nu }]$

Матрица $\alpha _{\mu }$ коммутирует с $x_{\nu }$, поэтому матричный оператор можно вынести за скобки. Окончательно имеем

$dx_{\nu }/dt=c\alpha _{\mu }[p_{\mu },x_{\nu }]=c\alpha _{\mu }\delta _{\mu \nu }=c\alpha _{\nu }$

Собственные значения матричного оператора скорости равны $\pm c$, но так как оператор скорости не коммутирует с оператором Гамильтона, то на опыте всегда измеряется среднее значение релятивистского оператора скорости и оно меньше $c$.

Таким образом, соответствие между уравнениями (1) и (2) подтверждается.

Alexander Klimets 07:05, 2 мая 2016 (UTC)

Ошибка

квантовых колебаний в электромагнитного поля--Алры (обс.) 20:49, 2 июля 2019 (UTC)

Несоответствие матриц Паули

$\alpha _{0},\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}\$ — линейные операторы над пространством биспиноров, которые действуют на волновую функцию (матрицы Паули).

Матрицы $\alpha _{0},\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}\$ не являются матрицами Паули, так как имеют размер 4×4, а не 2×2.

Vitaliy (обс.) 00:02, 1 июня 2022 (UTC)Vit84

Несоответствие альфа-матриц Дирака

$\alpha _{i}^{2}=1$ для $i\$ от 0 до 3.

В обсуждаемом представлении эти операторы являются матрицами размера 4×4 (это минимальный размер матриц, для которых выполняются условия антикоммутации), называемыми альфа-матрицами Дирака

Альфа-матрицы Дирака по указанной ссылке возведенные в квадрат имеют значения 1, -1, -1, -1, а не 1. Значит либо утверждение выше неверно, либо эти матрицы Дирака не подходят, либо на странице Матрицы Дирака указаны неверные матрицы.

Vitaliy (обс.) 00:02, 1 июня 2022 (UTC)Vit84