Обсуждение:Условия Коши — Римана

пусть

w=u+iv=f(z)=f(x+iy)

с одной стороны

dw=du+idv={\frac {\partial u}{\partial x}}dx+{\frac {\partial u}{\partial y}}dy+i{\frac {\partial v}{\partial x}}dx+i{\frac {\partial v}{\partial y}}dy

с другой стороны

dw=f'dz=(A+iB)(dx+idy)=Adx-Bdy+iBdx+iAdy

в силу независимости

dx

и

dy

, а также в силу

x_{1}+iy_{1}=x_{2}+iy_{2}\Leftrightarrow x_{1}=x_{2}\&y_{1}=y_{2}

получаем:

dw

можно представить в виде

f'dz\Leftrightarrow

{\frac {\partial u}{\partial x}}=A;\quad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-B;\quad {\frac {\partial v}{\partial x}}=B;\quad {\frac {\partial v}{\partial y}}=A;