Ожерелье Антуана

Ожерелье Антуана (антуановское множество) — пример подмножества евклидова пространства, гомеоморфного канторову множеству, но при этом имеющего неодносвязное дополнение.

Первая итерация

Вторая итерация

Построен Луи Антуаном в 1921 году.

Построение

Ожерелье получается как пересечение убывающей последовательности компактных множеств:

$K_{1}\supset K_{2}\supset \dots$

такой, что каждое $K_{n}$ является объединением конечного числа непересекающихся полноториев.

Если максимальный диаметр полнотория в $K_{n}$ стремится к нулю при $n\to \infty$, то пересечение:

$K=\bigcap _{n}K_{n}$

является компактным вполне несвязным множеством без изолированных точек и значит гомеоморфно канторову множеству.

С другой стороны, можно выбрать последовательность $K_{n}$ так, что дополнение к полученному $K$ неодносвязно, для этого пересечение $K_{n+1}$ с каждым полноторием в $K_{n}$ должно образовывать замкнутую цепь как на картинке.

См. также

• Дикая сфера
• Дикий узел
• Многообразие Уайтхеда