Оператор Перрона — Фробениуса

Оператор Перрона — Фробениуса — оператор, описывающий изменение с течением времени плотности вероятности в фазовом пространстве состояний динамической системы. Назван в честь немецких математиков Фердинанда Фробениуса и Оскара Перрона.

Определение

Рассмотрим ансамбль траекторий динамической системы, начальные данные для которого распределены в фазовом пространстве с некоторой плотностью вероятностей $P(x)$. Пусть с течением времени состояние динамической системы в фазовом пространстве изменяется $x(t)=\varphi (x,t)$. При этом плотность вероятности изменяется: $P(x,t)=L(P(x),t)$. Оператор $L$ называется оператором Перрона-Фробениуса.

Примеры

• Рассмотрим отображение $x_{n+1}=f(x_{n})$. Пусть на $n$-м шаге в фазовом пространстве определена плотность вероятности $p_{n}(x)$. Тогда для плотности вероятности на следующем шаге получим: $p_{n+1}(y)=\int \delta (f(x)-y)p_{n}(x)dx=L(p_{n})$. Здесь оператор $L$ называется оператором Перрона — Фробениуса для отображения $f(x)$. Он является линейным несамосопряжённым оператором.

См. также

• Теорема Фробениуса — Перрона

Литература

• Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б. Нелинейная динамика и хаос: основные понятия. — М.: Либроком, 2011. — 240 с. — ISBN 978-5-397-01583-7.