Основная теорема о вычетах

Основна́я теоре́ма о вы́четах — мощный инструмент для вычисления интеграла мероморфной функции по замкнутому контуру. Её часто используют также для вычисления вещественных интегралов. Она является обобщением интегральной теоремы Коши и интегральной формулы Коши.

Illustration of the setting.

Формулировка: если функция $f$ аналитична в некоторой замкнутой односвязной области ${\overline {G}}\subset \mathbb {C}$, за исключением конечного числа особых точек $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$, из которых ни одна не принадлежит граничному контуру $\partial G$, то справедлива следующая формула:

$~\int \limits _{\partial G}f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\mathop {\mathrm {res} } _{z=a_{k}}f(z),$

где $\mathop {\mathrm {res} } _{z=a_{k}}f$ — вычет функции $f$ в точке $a_{k}$.

Обход контура $\partial G$ производится против часовой стрелки. Для использования теоремы в вычислении вещественных интегралов нужно аналитически продолжить интегрируемую вещественную функцию на комплексную плоскость и найти её вычеты, что обычно довольно просто сделать. После этого нужно замкнуть контур интегрирования, добавив к вещественному отрезку полуокружность, лежащую в верхней или нижней комплексной полуплоскости. После этого интеграл по этому контуру можно вычислить, используя основную теорему о вычетах. Зачастую интеграл по полуокружности можно устремить к 0, выбрав её правильным образом, после чего контурный интеграл станет равен вещественному.

Пример

Интеграл

$~\int \limits _{-\infty }^{\infty }{e^{itx} \over x^{2}+1}\,dx$

Контур интегрирования

возникает в теории вероятностей при расчёте характеристической функции распределения Коши и не поддаётся вычислению обычными методами. Вычислим его через интеграл по контуру $C$, указанному на рисунке ($a>1$). Интеграл равен

$~\int \limits _{C}{f(z)}\,dz=\int \limits _{C}{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz.$

Так как $e^{itz}$ — целая функция (нет сингулярностей на комплексной плоскости), то функция имеет сингулярности лишь в точках, где $z^{2}+1=0$. Так как $z^{2}+1=(z+i)(z-i)$, это возможно лишь при $z=i$ или $z=-i$. В пределах контура лежит лишь одна из этих точек.

${\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}$	${}={\frac {e^{itz}}{2i}}\left({\frac {1}{z-i}}-{\frac {1}{z+i}}\right)$
	${}={\frac {e^{itz}}{2i(z-i)}}-{\frac {e^{itz}}{2i(z+i)}},$

Вычет $f(z)$ в $z=i$ равен

$\mathop {\mathrm {res} } _{z=i}f(z)={e^{-t} \over 2i}.$

Тогда, по основной теореме о вычетах:

$~\int \limits _{C}f(z)\,dz=2\pi i\,\mathop {\mathrm {res} } _{z=i}f(z)=2\pi i{e^{-t} \over 2i}=\pi e^{-t}.$

Контур $C$ можно разбить на прямую часть и кривую дугу, так что

$~\int \limits _{\mbox{straight}}+\int \limits _{\mbox{arc}}=\pi e^{-t}\,.$

Поэтому

$~\int \limits _{-a}^{a}=\pi e^{-t}-\int \limits _{\mbox{arc}}.$

Можно показать, что при $t>0$:

$~\int \limits _{\mbox{arc}}{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz\rightarrow 0;\quad a\rightarrow \infty .$

Поэтому, если $t>0$, то

$~\int \limits _{-\infty }^{\infty }{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz=\pi e^{-t}.$

Аналогичным образом, для дуги, охватывающей точку $-i$ вместо $i$, можно показать, что при $t<0$:

$~\int \limits _{-\infty }^{\infty }{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz=\pi e^{t},$

В итоге получаем:

$~\int \limits _{-\infty }^{\infty }{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz=\pi e^{-\left|t\right|}.$

(При $t=0$ интеграл вычисляется обычными методами анализа, он равен $\pi$)

См. также

• Теорема Мореры

Ссылки

• Residue theorem Архивная копия от 12 июля 2008 на Wayback Machine in MathWorld
• Residue Theorem Module by John H. Mathews