Первая группа когомологий

Первая группа когомологий топологического пространства — абелева группа, состоящая из аддитивных целозначных функций на первой группе гомологий этого пространства. Она является простейшим вариантом групп когомологий — одного из центральных понятий теории гомологий и алгебраической топологии.

Определение

Первой группой когомологий топологического пространства $X$ называется группа гомоморфизмов

$H^{1}(X):={\rm {Hom}}(H_{1}(X),\mathbb {Z} )$,

где $H_{1}(X)$ — его первая группа гомологий.

Свойства

Первая группа когомологий компактного пространства является конечно порождённой. Она тривиальна тогда и только тогда, когда первая группа гомологий этого пространства конечна.

Первые группы когомологий гомеоморфных или гомотопически эквивалентных пространств изоморфны.

Функториальность

Сопоставление $X\to H^{1}(X)$ продолжается до функтора из категории топологических пространств в категорию абелевых групп, причем контравариантного. А именно, каждому непрерывному отображению $f\colon X\to Y$ сопоставляется гомоморфизм $f^{*}\colon H^{1}(Y)\to H^{1}(X)$, где образ $f^{*}(\varphi )\colon H_{1}(X)\to \mathbb {Z}$ гомоморфизма $\varphi \colon H_{1}(Y)\to \mathbb {Z}$ определяется правилом

$[a]\mapsto \varphi ([f(a)])$,

где символ $[a]$ обозначает гомологический класс одномерного цикла $a$.

Иными словами, данный функтор является композицией $X\mapsto H_{1}(X)\mapsto H^{1}(X)$ ковариантного функтора первой группы гомологий и контравариантного hom-функтора, представленного группой $\mathbb {Z}$.

Если два отображения $f,g\colon X\to Y$ гомотопны, то они индуцируют одинаковые гомоморфизмы первых групп когомологий: $f^{*}=g^{*}$. В связи с этим сопоставление $X\to H^{1}(X)$ продолжается до контравариантного функтора из гомотопической категории в категорию абелевых групп.

Связь с фундаментальной группой

Если $X$ линейно связно, его первая группа гомологий изоморфна абелианизации его фундаментальной группы. В этом случае, согласно универсальному свойству абелианизации, имеется изоморфизм групп гомоморфизмов:

$H^{1}(X)\cong {\rm {Hom}}(\pi _{1}(X),\mathbb {Z} )$.

Связь с отображениями в окружность

Каждое непрерывное отображение $f\colon X\to S^{1}$ индуцирует гомоморфизм фундаментальных групп:

$f_{*}\colon \pi _{1}(X)\to \pi _{1}(S^{1})\cong \mathbb {Z}$.

Следовательно, если пространство $X$ линейно связно, оно определяет элемент первой группы когомологий: $f_{*}\in {\rm {Hom}}(\pi _{1}(X),\mathbb {Z} )\cong H^{1}(X)$. Поскольку гомотопные отображения индуцируют одинаковые гомоморфизмы, данная конструкция задаёт функцию

$[X,S^{1}]\to H^{1}(X)$

из множества гомотопических классов отображений $X\to S^{1}$ в первую группу когомологий пространства $X$. Она биективна, поскольку для окружности, как и для любого пространства Эйленберга-Маклейна, подобная конструкция осуществляет взаимно-однозначное соответствие между гомотопическими классами отображений $X\to K(G,1)$ и гомоморфизмами $\pi _{1}(X)\to G$.

Имеется следующее описание прообраза сложения из первой группы когомологий $H^{1}(X)$ в множестве $[X,S^{1}]$ гомотопических классов. Для $f,g\colon X\to S^{1}$ определим отображение $f\ast g\colon X\to S^{1}$ правилом

$x\mapsto f(x)\times g(x)$,

где $\times$ — стандартная групповая операция на окружности. Тогда $(f\ast g)_{*}=f_{*}+g_{*}$.

Литература

• Хатчер А. Алгебраическая топология (рус.). — М.: МЦНМО, 2011. — 689 с. — ISBN 978-5-940-57-748-5.
• Viro O. Ya., Ivanov O. A., Netsvetaev N. Y., Kharlamov V. M.. Elementary Topology. Textbook in Problems = Элементарная топология (англ.). — American Mathematical Society, 2008. — 490 p. — ISBN 0821845063.