Пирамидальное число

Пирамидальное число — пространственная разновидность фигурных чисел, представляющее пирамиду с многоугольным основанием и заданным числом треугольных боковых сторон. Уже античные математики исследовали тетраэдральные и квадратные пирамидальные числа, для которых в основании лежат правильный треугольник и квадрат соответственно. Несложно определить числа, связанные с пирамидами, в основании которых лежит любой другой многоугольник, например:

Определение править

Пирамидальные числа определяются следующим образом.

$n$ -е по порядку $k$ -угольное пирамидальное число $\Pi _{n}^{(k)}$ есть сумма первых $n$ плоских фигурных чисел $P_{n}^{(k)}$ с тем же числом углов $k$ :

\Pi _{n}^{(k)}=P_{1}^{(k)}+P_{2}^{(k)}+P_{3}^{(k)}+\dots +P_{n}^{(k)}

Геометрически пирамидальное число $\Pi _{n}^{(k)}$ можно представить как пирамиду из $n$ слоёв (см. рисунок), каждый из которых содержит от 1 (верхний слой) до $P_{n}^{(k)}$ (нижний) шаров.

По индукции нетрудно доказать общую формулу для пирамидального числа, известную ещё Архимеду^[1]:

\Pi _{n}^{(k)}={\frac {n(n+1)((k-2)n-k+5)}{6}}

(ОПФ)

Правую часть этой формулы можно также выразить через плоские многоугольные числа:

\Pi _{n}^{(k)}={\frac {(k-2)n-k+5}{3}}P_{n}^{(3)}={\frac {n+1}{6}}(2P_{n}^{(k)}+n)

Примечания править

↑ Деза Е., Деза М., 2016, с. 70—71.

Литература править

Виленкин Н. Я., Шибасов Л. П. Шибасова 3. Ф. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия. — М.: Просвещение, 1996. — С. 30. — 320 с. — ISBN 5-09-006575-6.
Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964. — 376 с.
Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М.: МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7.

Ссылки править

Фигурные числа Архивная копия от 23 ноября 2018 на Wayback Machine
Figurate Numbers Архивная копия от 10 июня 2019 на Wayback Machine на сайте MathWorld (англ.)
Centered Polygonal Number Архивная копия от 18 марта 2020 на Wayback Machine на сайте MathWorld (англ.)

[_e7e8729a69c8fae0-1] Деза Е., Деза М., 2016, с. 70—71.

[1]