Плотность множества

Пло́тность (измери́мого) мно́жества $E$ на вещественной прямой $\mathbb {R}$, в точке $x$ ― предел (если он существует) отношения

$\lim _{|D|\to 0}|E\cap D|/|D|$

где $D$ ― произвольный отрезок, содержащий $x$, а $|D|$ ― его мера Лебега. Если вместо меры рассматривать внешнюю меру, то получится определение внешней плотности $E$ в точке $x$.

Аналогично вводится плотность в $n$-мерном пространстве. При этом длины отрезков заменяются объёмами соответствующих $n$-мерных параллелепипедов с гранями, параллельными координатным плоскостям, а предел рассматривается при стремлении к нулю диаметра параллелепипеда.

Для множеств из $\mathbb {R}$ оказывается полезным понятие правой (левой) плотности $E$ в точке $x$, которое получается из общего определения, если в нём рассматривать лишь отрезки $D$, имеющие левым (правым) концом точку $x$.

Связанные определения

• Точка плотности — точка, в которой плотность равна единице.
  • Почти все точки измеримого множества суть его точки плотности.
• Точка разрежения — точка, в которой плотность равна нулю.

См. также

• Теорема о точках плотности

Литература

• Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. — М., 1974.