Полиномы Белла

В математике, в частности в комбинаторике, полиномы Белла — это полиномы вида

$B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})=\sum {n! \over j_{1}!j_{2}!\cdots j_{n-k+1}!}\left({x_{1} \over 1!}\right)^{j_{1}}\left({x_{2} \over 2!}\right)^{j_{2}}\cdots \left({x_{n-k+1} \over (n-k+1)!}\right)^{j_{n-k+1}},$

где сумма берётся по всем последовательностям j₁, j₂, j₃, ..., j_n−k+1 неотрицательных целых чисел таким, что

$j_{1}+j_{2}+\cdots =k$ и $j_{1}+2j_{2}+3j_{3}+\cdots =n.$

Полиномы Белла названы так в честь математика Э. Белла.

Полные полиномы Белла

Сумма

$B_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})$

иногда называется n-м полным полиномом Белла. Для отличия от полных полиномов Белла, полиномы B_n, k, определённые выше, иногда называют «частичными» полиномами Белла.

Полные полиномы Белла удовлетворяют следующим условиям:

$B_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\det {\begin{bmatrix}x_{1}&{n-1 \choose 1}x_{2}&{n-1 \choose 2}x_{3}&{n-1 \choose 3}x_{4}&{n-1 \choose 4}x_{5}&\cdots &\cdots &x_{n}\\\\-1&x_{1}&{n-2 \choose 1}x_{2}&{n-2 \choose 2}x_{3}&{n-2 \choose 3}x_{4}&\cdots &\cdots &x_{n-1}\\\\0&-1&x_{1}&{n-3 \choose 1}x_{2}&{n-3 \choose 2}x_{3}&\cdots &\cdots &x_{n-2}\\\\0&0&-1&x_{1}&{n-4 \choose 1}x_{2}&\cdots &\cdots &x_{n-3}\\\\0&0&0&-1&x_{1}&\cdots &\cdots &x_{n-4}\\\\0&0&0&0&-1&\cdots &\cdots &x_{n-5}\\\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\\\0&0&0&0&0&\cdots &-1&x_{1}\end{bmatrix}}.$

Комбинаторная интерпретация

Если в разбиении числа n слагаемое 1 появляется j₁ раз, 2 появляется j₂ раза, и т.д., то количество разбиений множества мощности n, в котором мощности частей образуют это разбиение числа n, равно соответствующему коэффициенту полинома Белла.

Примеры

Для n = 6, k = 2 мы имеем

$B_{6,2}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=6x_{5}x_{1}+15x_{4}x_{2}+10x_{3}^{2}$

потому что есть

• 6 способов разбить множество мощности 6 на подмножества мощностей 5 + 1,
• 15 способов разбить множество мощности 6 на подмножества мощностей 4 + 2,
• 10 способов разбить множество мощности 6 на подножества мощностей 3 + 3.

Аналогично,

$B_{6,3}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=15x_{4}x_{1}^{2}+60x_{3}x_{2}x_{1}+15x_{2}^{3}$

потому что есть

15 способов разбить множество мощности 6 на подмножества мощностей 4 + 1 + 1,

60 способов разбить множество мощности 6 на подмножества мощностей 3 + 2 + 1, and

15 способов разбить множество мощности 6 на подмножества мощностей 2 + 2 + 2.

Свойства

• $B_{n,k}(1!,2!,\dots ,(n-k+1)!)={\binom {n}{k}}{\binom {n-1}{k-1}}(n-k)!$

Связь с числами Стирлинга и Белла

Значение полинома Белла B_n,k(x₁, x₂, …), где все x_i равны 1 является числом Стирлинга второго рода:

$B_{n,k}(1,1,\dots )=S(n,k)=\left\{{n \atop k}\right\}.$

Сумма

$\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(1,1,1,\dots )=\sum _{k=1}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}$

есть n-е число Белла (количество разбиений множества мощности n).

Тождество свертки

Для последовательности x_n, y_n, n = 1, 2, …, определёна свёртка:

$(x\diamondsuit y)_{n}=\sum _{j=1}^{n-1}{n \choose j}x_{j}y_{n-j}.$

(Заметим, что пределы суммирования здесь 1 и n − 1, а не 0 и n.)

Положим, что $x_{n}^{k\diamondsuit }$ есть n-й член последовательности

$\displaystyle \underbrace {x\diamondsuit \cdots \diamondsuit x} _{k\ \mathrm {factors} }.$

Тогда

$B_{n,k}(x_{1},\dots ,x_{n-k+1})={x_{n}^{k\diamondsuit } \over k!}.$

Для примера вычислим $B_{4,3}(x_{1},x_{2})$. Так как

$x=(x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ x_{4},\ldots ),$

$x\diamondsuit x=(0,\ 2x_{1}^{2}\ ,\ 6x_{1}x_{2}\ ,\ 8x_{1}x_{3}+6x_{2}^{2}\ ,\ldots ),$

$x\diamondsuit x\diamondsuit x=(0,\ 0,\ 6x_{1}^{3},\ 36x_{1}^{2}x_{2},\ldots ),$

то

$B_{4,3}(x_{1},x_{2})={\frac {(x\diamondsuit x\diamondsuit x)_{4}}{3!}}=6x_{1}^{2}x_{2}.$

Применения

Формула Фаа-ди-Бруно

Основная статья: Формула Фаа-ди-Бруно

Формула Фаа-ди-Бруно может быть сформулирована в терминах полиномов Белла следующим образом:

${d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum _{k=0}^{n}f^{(k)}(g(x))B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots ,g^{(n-k+1)}(x)\right).$

Кроме того, мы можем использовать полиномы Белла, если

$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n}\qquad$ и $\qquad g(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{b_{n} \over n!}x^{n},$

то

$g(f(x))=\sum _{n=1}^{\infty }{\sum _{k=1}^{n}b_{k}B_{n,k}(a_{1},\dots ,a_{n-k+1}) \over n!}x^{n}.$

В частности, полные полиномы Белла появляются в разложении экспоненты формального степенного ряда

$\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{B_{n}(a_{1},\dots ,a_{n}) \over n!}x^{n}.$

Моменты и кумулянты

Сумма

$B_{n}(\kappa _{1},\dots ,\kappa _{n})=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(\kappa _{1},\dots ,\kappa _{n-k+1})$

есть n-й момент распределения вероятностей, первые n кумулянтов которых равны κ₁, …, κ_n. Другими словами, n-й момент равен значению n-го полного полинома Белла на первых n кумулянтах.

Представление полиномиальных последовательностей биномиального типа

Для заданной последовательности чисел a₁, a₂, a₃, … положим

$p_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(a_{1},\dots ,a_{n-k+1})x^{k}.$

Тогда эта последовательность полиномов имеет биномиальный тип, т.е. она удовлетворяет биномиальным условиям

$p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}p_{k}(x)p_{n-k}(y)$ для n ≥ 0.

Теорема: Все полиномиальные последовательности биномиального типа представляются в таком виде.

Eсли мы рассмотрим

$h(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n}$

как формальный степенной ряд, то для всех n,

$h^{-1}\left({d \over dx}\right)p_{n}(x)=np_{n-1}(x).$

Программное обеспечение

• Полиномы Белла, полные полиномы Белла и обобщённые полиномы Белла реализованы в Mathematica как BellY Архивная копия от 20 марта 2014 на Wayback Machine.

Источники

• Eric Temple Bell. Partition Polynomials (неопр.) // Annals of Mathematics. — 1927–1928. — Т. 29, № 1/4. — С. 38—46. — doi:10.2307/1967979. — .
• Louis Comtet. Advanced Combinatorics: The Art of Finite and Infinite Expansions (англ.). — Dordrecht, Holland / Boston, U.S.: Reidel Publishing Company, 1974.
• Steven Roman The Umbral Calculus (неопр.). — Dover Publications.
• Khristo N. Boyadzhiev. Exponential Polynomials, Stirling Numbers, and Evaluation of Some Gamma Integrals (англ.) // Abstract and Applied Analysis : journal. — 2009. — Vol. 2009. — P. Article ID 168672. — doi:10.1155/2009/168672. (contains also elementary review of the concept Bell-polynomials)
• Silvia Noschese, Paolo E. Ricci. Differentiation of Multivariable Composite Functions and Bell Polynomials (англ.) // Journal of Computational Analysis and Applications : journal. — 2003. — Vol. 5, no. 3. — P. 333—340. — doi:10.1023/A:1023227705558. '
• Vassily G. Voinov, Mikhail S. Nikulin. On power series, Bell polynomials, Hardy-Ramanujan-Rademacher problem and its statistical applications (англ.) // Kybernetika : journal. — 1994. — Vol. 30, no. 3. — P. 343—358. — ISSN 00235954.
• Kruchinin, V.V., 2011 , Derivation of Bell Polynomials of the Second Kind Архивная копия от 11 сентября 2015 на Wayback Machine(ArXiv)
• Конспект лекции Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine по полиномам Белла, примеры