Поличисла

Алгебра поличисел $P_{n}$ реализуется элементами $A\in P_{n}$ вида:

$A=A_{1}e_{1}+\dots +A_{n}e_{n},$

где $A_{i}\in \mathbb {R} ,$ а $e_{i}$ — набор образующих $P_{n}$, подчиняющихся следующим правилам умножения (умножение коммутативно и ассоциативно):

$e_{i}e_{j}=0\quad (i\neq j),\quad e_{i}^{2}=e_{i},$

а сама представляет собой следующий объект (прямая сумма):

$P_{n}~{\overset {\scriptscriptstyle \mathrm {def} }{=}}~\underbrace {\mathbb {R} \oplus \mathbb {R} \oplus \cdots \oplus \mathbb {R} } _{n}=\bigoplus ^{n}\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{n}.$

Поличисла (n-числа)

Нетрудно проверить, что умножение в алгебре поличисел в выбранном базисе сводится к умножению соответствующих компонент, а деление определено только для поличисел, у которых все $A_{i}\neq 0$ (по этой причине поличисла не образуют числового поля). Алгебраическая единица имеет в выбранном базисе следующее представление:

$I=e_{1}+\dots +e_{n}$.

На алгебре $P_{n}$ существует n-1 операция комплексного сопряжения. Одну из них можно определить следующим правилом:

$A^{(1)}=A^{\ast }=A_{n}e_{1}+A_{1}e_{2}+\dots +A_{n-1}e_{n},$

которое сводится к циклической перестановке компонент поличисла $A$. k-ое комплексное сопряжение можно определить формулой:

$A^{(k)}=A^{k(1)}=((A^{\ast })^{\ast })^{\dots })^{\ast }\quad$ ($k$ — раз)

Очевидно, что $A^{(n)}=A.$

Рассмотрим поличисло вида

$N(A)=AA^{(1)}A^{(2)}\dots A^{(n-1)},$ (1)

где $A\in P_{n}$.

Нетрудно проверить, что $N(A)$ вещественно в том смысле, что

$N(A)=r^{n}I,$ где $r^{n}\in R$.

Число $r$ называется (квази)нормой поличисла $A$. Квазинорма $r$ выражается через координаты поличисла $A$ по формуле :

$r^{n}=A_{1}A_{2}\dots A_{n}=G(A,A,\dots ,A)$,       (2)

где $G$ — n-форма

$G={\hat {S}}\left(dx^{1}\otimes \cdots \otimes dx^{n}\right)$,             (3)

${\hat {S}}$ — оператор симметризации. Эта форма является (финслеровой) метрикой в пространствах Бервальда — Моора. Формулы (1)-(3) проясняют связь алгебры поличисел с пространствами Бервальда — Моора: метрическая n-форма (3) индуцирована вещественной алгебраической формой $N(A)$, являющейся многомерным аналогом евклидовой квадратичной формы $|z|^{2}=zz^{\ast }$ на комплексной плоскости.

По аналогии с комплексной билинейной формой:

$(\zeta ,\xi )=\mathrm {Re} (\zeta \xi )$,

где $\zeta ,\xi \in \mathbb {C}$, можно рассмотреть n-линейную форму

$(A,B,\dots ,Z)={\text{Re}}(AB\dots Z)=\sum \limits _{\sigma (A,B,\dots ,Z)}AB^{(1)}C^{(2)}\dots Z^{(n-1)}=n!G(A,B,{\dots },Z).\quad$      (4)

Здесь суммирование производится по множеству $\sigma (A,B,{\dots },Z)$ всех перестановок элементов $A,B,{\dots },Z\in P_{n}$. Последний знак равенства в (4) (он устанавливается непосредственной проверкой) также выявляет генетическую связь алгебр поличисел и геометрий соответствующих пространств Бервальда — Моора.

Можно показать, что описанная выше алгебра поличисел $P_{n}$ является прямой суммой $n$ экземпляров алгебры вещественных чисел $\mathbb {R}$. Среди всех ассоциативно-коммутативных алгебр она, в определенном смысле, максимально симметрична (содержит $n$ гиперболических мнимых единиц). Более общей конструкцией будет поличисловая алгебра $P_{n,m},$ представляющая собой прямую сумму $n$ экземпляров алгебры вещественных чисел $\mathbb {R}$ и $m$ экземпляров алгебры комплексных чисел $\mathbb {C}$.

Литература

• И. Л. Кантор, А. С. Солодовников. Гиперкомплексные числа. М.: Наука, 1973, с.138-140
• М. А. Лаврентьев, Б. О. Шабат. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1977.
• Г. И. Гарасько. Начала финслеровой геометрии для физиков. М.: Тетру, 2009.
• С. С. Кокарев. Лекции по финслеровой геометрии и гиперкомплексным числам. В сб. научных трудов РНОЦ «Логос», вып. 5, Ярославль (2010), с.19-121