Полярное разложение

Полярное разложение — представление квадратной матрицы $A$ в виде произведения эрмитовой $S$ и унитарной $U$ матриц $A=SU$. Является аналогом разложения любого комплексного числа в виде $z=|z|e^{i\varphi }$.

Свойства

• Любую квадратную матрицу $A$ над $\mathbb {R}$ (над $\mathbb {C}$) можно представить в виде $A=SU$, где $S$ — симметрическая (эрмитова) неотрицательно определённая матрица, $U$ — ортогональная (унитарная) матрица. Если матрица $A$ невырождена, то такое представление единственно.
• Любую матрицу $A$ можно представить в виде $A=UDW$, где $U$ и $W$ — унитарные матрицы, $D$ — диагональная матрица.
• Если $A=S_{1}U_{1}=S_{2}U_{2}$ — полярные разложения невырожденной матрицы $A$, то $U_{1}=U_{2}$.

Существование

Докажем, что любую квадратную матрицу $A$ над $\mathbb {R}$ можно представить в виде произведения симметрической неотрицательно определённой матрицы и ортогональной матрицы.

Так как ${\left(A^{T}A\right)}^{T}=A^{T}A$, то матрица $A^{T}A$ симметричная. Существует базис, который можно обозначить через ${\vec {e}}$, состоящий из ортонормированных собственных векторов матрицы $A^{T}A$, расположенных в порядке убывания собственных значений.

Так как $(A^{T}(x),y)=(x,A(y))$, то для любых векторов $e_{i}$ и $e_{j}$ базиса $e$ выполняется $\lambda _{i}({\vec {e_{i}}},{\vec {e_{j}}})=(A^{T}A({\vec {e_{i}}}),{\vec {e_{j}}})=(A({\vec {e_{i}}}),A({\vec {e_{j}}}))$. Значит, образ базиса $e$ относительно преобразования $A$ ортогональный (сохраняются углы между векторами базиса, но не их длины). При проведении преобразования $A$ векторы ${\vec {e_{i}}}$ базиса $e$ преобразуются в векторы ${\sqrt {\lambda _{i}}}{\vec {e_{k}}}$.

Сингулярные числа матрицы $A$ — квадратные корни ${\sqrt {\lambda _{i}}}$ из собственных значений матрицы $A^{T}A$.

Отсюда очевидно, что $\lambda _{i}\geq 0$. Так как в рассматриваемом базисе векторы расположены в порядке убывания собственных значений, то существует такое число $r$, что $\forall i\leq r\rightarrow \lambda _{i}>0$.

Пусть $f$ — система векторов ${\vec {f_{i}}}={{\vec {A(e_{i})}} \over {\sqrt {\lambda _{i}}}}$ при $i<r$, дополненная до ортонормированного базиса произвольным образом. Пусть $Q$ — матрица перехода из базиса $e$ в базис $f$. Так как оба базиса ортонормированные, то матрица $Q$ ортогональная. Так как $Q^{-1}A(e_{i})=Q^{-1}\left({\sqrt {\lambda _{i}}}f_{i}\right)={\sqrt {\lambda _{i}}}e_{i}$, то существует ортонормированный базис из собственных векторов матрицы $Q^{-1}A$. Это значит, что матрица $Q^{-1}A$ в базисе ${\vec {e}}$ имеет диагональный вид, а потому в произвольном ортонормированном базисе симметрична.

Итак, $A=QQ^{-1}A=Q(Q^{-1}A)$, где матрица $Q$ ортогональная, а матрица $Q^{-1}A$ симметричная.

Литература

• Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3.