Постоянная Коупленда — Эрдёша

Постоянная Коупленда — Эрдёша — вещественное число, строящееся как конкатенация «0,» («ноль целых…») со сцепленной последовательностью возрастающих простых чисел в десятичной записи:

0,235711131719232931374143…

Постоянная иррациональна; данный факт можно доказать с помощью теоремы Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии или постулата Бертрана или теоремой Рамаре (гласящей, что любое чётное целое число является суммой не более шести простых чисел). Данный факт также следует из того, что данная постоянная — нормальное число; нормальность постоянной в десятичной записи доказана в 1949 году Артуром Коуплендом (англ. Arthur Herbert Copeland) и Палом Эрдёшом.

Любая постоянная, образованная конкатенацией «0,» со всеми простыми числами в арифметической прогрессии $dn+a$, где $a$ — взаимно простое число с числом $d$ и числом 10, будет иррациональной. К примеру, таковы простые числа принимающие форму $4n+1$ или $8n+1$. Согласно теореме Дирихле, арифметическая прогрессия $dn\cdot 10^{m}+a$ содержит простые числа для любого числа $m$, и эти простые числа также находятся в $cd+a$, следовательно среди этих конкатенацированных простых чисел будет содержаться любое желаемое количество нулей, следующих друг за другом.

Постоянная Коупленда — Эрдёша может быть выражена как:

$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }p_{n}10^{-\left(n+\sum _{k=1}^{n}\lfloor \log _{10}{p_{k}}\rfloor \right)}$,

где $p_{n}$ — это $n$-е простое число.

Непрерывная дробь числа — [0; 4, 4, 8, 16, 18, 5, 1, …].

Похожие постоянные

Для любой позиционной системы счисления с основанием $b$ число:

$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b^{-p_{n}}$,

которое может быть записано в этой системе счисления как 0,0110101000101000101…, где $n$-я цифра — это 1, если $n$ — простое число, является иррациональным.

Постоянная Чемперноуна — конкатенация всех положительных целых чисел, а не только простых чисел.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Copeland-Erdos Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• G. H. Hardy, E. M. Wright. An Introduction to the Theory of Numbers. — 5^{th ed.}. — Oxford University Press, 1938. — ISBN 0-19-853171-0.