Предельные теоремы Сегё

Предельные теоремы Сегё — группа результатов, описывающих асимптотическое поведение детерминантов больших теплицевых матриц, впервые установленная Габором Сегё.

В рамках предельных теорем рассматривается функция $\varphi \colon T\to \mathbb {C}$, заданная на единичной окружности комплексной плоскости, и тёплицева матрица $T_{n}(\varphi )$ размера $n\times n$, определённая как:

$T_{n}(\phi )_{k,l}={\widehat {\phi }}(k-l),\quad 0\leqslant k,l\leqslant n-1$,

где

${\widehat {\phi }}(k)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\phi (e^{i\theta })e^{-ik\theta }\,d\theta$

являются коэффициентами Фурье функции $\varphi$.

Первая теорема Сегё утверждает, что при $\varphi >0$ и $\varphi \in L_{1}(T)$ справедливо:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {\det T_{n}(\phi )}{\det T_{n-1}(\phi )}}=\exp \left\{{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log \phi (e^{i\theta })\,d\theta \right\}.$

Правая часть является геометрическим средним функции $\varphi$(которое определено в силу соотношения между геометрическим и арифметическим средними; обозначается через $G(\varphi )$).

Вторая теорема Сегё (строгая теорема Сегё) утверждает, что если дополнительно потребовать, чтобы производная $\varphi$ была гёльдеровой функцией порядка $\alpha >0$, то справедливо:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {\det T_{n}(\phi )}{G^{n}(\phi )}}=\exp \left\{\sum _{k=1}^{\infty }k\left|{\widehat {(\log \phi )}}(k)\right|^{2}\right\}.$