Принцип соответствия границ

Принцип соответствия границ или теорема Каратеодори:

Если $f$ конформно отображает область $G$ на область $G'$ и границы областей жордановы, то $f$ можно продолжить до гомеоморфизма ${\overline {f}}:{\overline {G}}\to {\overline {G'}}$.

Замечания

• В общем случае области с произвольной границей утверждение теоремы неверно.

Вариации и обобщения

Теорема Шварца о соответствии границ:

Если $f$ конформно отображает область $G$ на область $G'$, притом кривые $\partial G$ и $\partial G'$ являются аналитическими, то её можно продолжить до конформного отображения ${\overline {f}}:{\overline {G}}\to {\overline {G'}}$.

Это не есть усиление теоремы Каратеодори, поскольку существуют непрерывные, но не аналитические границы.

Замечания

• Также верен обратный принцип соответствия границ: Пусть $D_{1},D_{2}$ - ограниченные области с кусочно-гладкой границей и функция $f$, голоморфная на $D_{1}$ и непрерывная на ${\overline {D_{1}}}$, биективно отображает $\partial D_{1}$ на $\partial D_{2}$, тогда $f$ конформно отображает $D_{1}$ на $D_{2}$

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.