Проблема Варинга

Проблема Варинга — теоретико-числовое утверждение, согласно которому для каждого целого $n>1$ существует такое число $k=k(n)$, что всякое натуральное число $N$ может быть представлено в виде:

$x_{1}^{n}+x_{2}^{n}+\ldots +x_{k}^{n}=N\quad$

с целыми неотрицательными $x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{k}$.

Как гипотеза предложена в 1770 году Эдуардом Варингом, доказана Гильбертом в 1909 году. Уже после доказательства вокруг вопросов, как связанных с доказательством основной проблемы, так и с различными вариантами и обобщениями, проведено значительное количество исследований, в рамках которых получены примечательные результаты и развиты важные методы; в Математической предметной классификации проблеме Варинга и связанным с ней исследованиям посвящён отдельный раздел третьего уровня.

Основные результаты

До XX века проблему удавалось решить только в частных случаях, например, теоремой Лагранжа о сумме четырёх квадратов установлено $k=4$ для проблемы в случае $n=2$.

Первое доказательство справедливости гипотезы было дано в 1909 году Гильбертом, оно было весьма объёмным и строилось на сложных аналитических конструкциях, включая пятикратные интегралы.

В 1920 году новое доказательство этой же теоремы дали Харди и Литлвуд, разработав для этого специальный круговой метод. Они ввели две функции — $g(n)$ и $G(n)$; $g(n)$ — наименьшее $k$ такое, что проблема Варинга разрешима при $N\geqslant 1$; $G(n)$ — наименьшее $k$ такое, что проблема Варинга разрешима при $N\geqslant N_{0}(n)$. (Ясно, что $G(n)\leqslant g(n)$.) Харди и Литтлвуд дали для $G(n)$ оценку снизу $n<G(n)$, которая по порядку и по константе в общем случае не улучшена по состоянию на 2010-е годы, и оценку сверху, которая впоследствии была радикально улучшена. Эта функция с тех пор называется функцией Харди. Они также получили асимптотическую формулу для числа решений проблемы Варинга.

Таким образом, в результате исследования проблемы Варинга были разработаны мощные аналитические методы. Однако Линник в 1942 году нашёл доказательство основной теоремы на базе элементарных методов.

Функция $g(n)$ известна. Для более фундаментальной функции $G(n)$ получен ряд оценок сверху и снизу, однако её конкретные значения неизвестны даже для малых $n$.

Функция g(n)

Иоганн Эйлер, сын Леонарда Эйлера, предположил около 1772 года, что:

$g(n)=2^{n}+[(3/2)^{n}]-2$.

В 1940-е годы Леонард Диксон, Пиллай (англ. Subbayya Sivasankaranarayana Pillai), Рубугундай (англ. R. K. Rubugunday) и Нивен с учётом результата Малера (нем. Kurt Mahler) доказали, что это верно за исключением конечного числа значений $n$, превышающих 471 600 000. Существует гипотеза, что эта формула верна для всех натуральных чисел.

Несколько первых значений $g(n)$:

1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1079, 2132, 4223, 8384, 16 673, 33 203, 66 190, 132 055, …

Примечательно, что, например, для $n=3$ только числа 23 и 239 не представимы суммой восьми кубов.

Функция G(n)

В 1924 году Виноградов применил к проблеме Варинга свой метод тригонометрических сумм, это не только сильно упростило доказательство, но и открыло путь к принципиальному улучшению оценки для $G(n)$. После целого ряда уточнений он в 1959 году доказал, что:

$G(n)<2n\log n+4n\log \log n+2n\log \log \log n+13n$.

Применяя сконструированную им $p$-адическую форму кругового метода Харди — Литтлвуда — Рамануджана — Виноградова к оценкам тригонометрических сумм, в которых суммирование ведётся по числам с малыми простыми делителями, Карацуба в 1985 году улучшил эту оценку. При $n\geqslant 400$:

$G(n)<2n\log n+2n\log \log n+12n$.

В дальнейшем оценку улучшил Вули, сначала в работе 1992 года, затем — в 1995 году:

$G(n)\leqslant n\log n+n\log \log n+2+O(n\log \log n/\log n)$.

Воган и Вули написали о проблеме Варинга объёмную обзорную статью, в которой результат Карацубы, опубликованный в 1985 году, относят к публикации Вогана 1989 года.

Границы
4 ≤ G(2) ≤ 4
4 ≤ G(3) ≤ 7
16 ≤ G(4) ≤ 16
6 ≤ G(5) ≤ 17
9 ≤ G(6) ≤ 24
8 ≤ G(7) ≤ 33
32 ≤ G(8) ≤ 42
13 ≤ G(9) ≤ 50
12 ≤ G(10) ≤ 59
12 ≤ G(11) ≤ 67
16 ≤ G(12) ≤ 76
14 ≤ G(13) ≤ 84
15 ≤ G(14) ≤ 92
16 ≤ G(15) ≤ 100
64 ≤ G(16) ≤ 109
18 ≤ G(17) ≤ 117
27 ≤ G(18) ≤ 125
20 ≤ G(19) ≤ 134
25 ≤ G(20) ≤ 142

Фактически величина $G(n)$ известна только для двух значений аргумента, именно $G(2)=4$ и $G(4)=16$.

Сумма квадратов: G(2)

Основная статья: Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов

В соответствии с теоремой Лагранжа любое натуральное число можно представить в виде суммы четырёх квадратов целых чисел. Также легко показать, что числа, дающие остаток 7 при делении на 8, не представимы в виде суммы менее чем 4 квадратов. Таким образом $G(2)=4$.

Сумма кубов: G(3)

Легко доказать, что $G(3)\geqslant 4$. Это следует из того, что кубы всегда сравнимы с 0, 1 или −1 по модулю 9.

Линник доказал, что $G(3)\leqslant 7$ в 1943 году. Компьютерные эксперименты позволяют предположить, что эта оценка может быть улучшена до 4 (то есть $G(3)=4$), так как из чисел, меньших 1.3⋅10⁹, последнее число, которое потребует шесть кубов это 1 290 740, и количество чисел между N и 2N, требующих пять кубов, падает при увеличении N с достаточно большой скоростью. Наибольшее известное число, которое, возможно, не представимо в виде суммы четырёх кубов, это 7 373 170 279 850, и есть основания думать, что это наибольшее такое число. Любое неотрицательное число можно представить в виде 9 кубов, и существует гипотеза, что наибольшие числа, требующие минимум 9, 8, 7, 6 и 5 кубов, это 239, 454, 8042, 1 290 740 и 7 373 170 279 850 соответственно, а их количество — 2, 17, 138, 4060, 113 936 676 соответственно.

Сумма четвёртых степеней: G(4)

Известно значение для $G(4)$ — это 16. Этот результат доказал в 1930-е годы Дэвенпорт.

• Для чисел вида 31·16ⁿ необходимо по крайней мере шестнадцать четвёртых степеней.
• Число 79 требует 19 четвёртых степеней.
• Число 13 792 требует 17 четвёртых степеней.

Любое число, большее 13 792, может быть представлено в виде суммы не более чем шестнадцати четвёртых степеней. Это было доказано для чисел, меньших 10²⁴⁵ в 2000 году, а для остальных чисел в 2005 году улучшением результата Дэвенпорта.

Сумма пятых степеней: G(5)

617 597 724 — это последнее число, меньшее 1.3⋅10⁹, которое потребует 10 пятых степеней, и 51 033 617 — это последнее число, меньшее 1.3⋅10⁹, которое потребует 11. На основании компьютерных экспериментов есть основания полагать, что $G(5)<G(4)$.

Помимо точных значений $G(n)$ открытым остаётся вопрос и о числе решений проблемы Варинга при заданных параметрах и ограничениях. В посвящённых этому вопросу работах возможны формулировки вида: «проблема Варинга для 9 кубов с почти равными слагаемыми».

Обобщения

Проблема Варинга — Гольдбаха

Проблема Варинга — Гольдбаха ставит вопрос о представимости целого числа суммой степеней простых чисел, по аналогии с проблемой Варинга и проблемой Гольдбаха.

Хуа Ло-кен, используя улучшенные методы Харди — Литлвуда и Виноградова, получил для числа простых слагаемых оценку сверху $O(n^{2}\log n)$.

На официальном сайте механико-математического факультета МГУ по состоянию на 2014 год утверждается, полное решение проблемы Варинга — Гольдбаха в 2009 году нашёл Чубариков, однако в единственной статье 2009 года даётся решение задачи, лишь в некотором смысле сходной с проблемой Варинга — Гольдбаха.

Точность представления целого числа суммой степеней

Обобщением проблемы Варинга можно считать вопрос о точности представления целого числа суммой степеней целых, не решенный даже для степени равной $2$.

Все натуральные числа, за исключением чисел вида $4^{m}(8n+7),\;m,\;n=0,\;1,\;2,\;\ldots ,$ представимы в виде $x^{2}+y^{2}+z^{2}$. Естественно возникает вопрос: как близко к заданному числу $N$ можно подойти суммой двух квадратов целых чисел? Так как $(n+1)^{2}-n^{2}=2n+1$ и правая часть этого равенства имеет порядок корня квадратного из $n^{2}$, то одним квадратом можно подойти к $N$ на расстояние порядка $N^{1/2}$. Следовательно, суммой двух квадратов можно подойти к $N$ на расстояние порядка $N^{1/4}$. А можно ли подойти ближе? Со времен Эйлера стоит эта задача «без движения», хотя есть гипотеза о том, что

$\min _{x,\;y\in Z}|N-x^{2}-y^{2}|\leqslant N^{\varepsilon },$

где $\varepsilon >0,\;\varepsilon$ — любое, $N\geqslant N_{1}(\varepsilon )$. Заменить $1/4$ в предыдущем рассуждении на $1/4-c$ со сколь угодно малым фиксированным $c>0$, не удаётся, и эта, на первый взгляд, простая задача не продвигается с середины XVIII века.

Многомерный аналог проблемы Варинга

В своих дальнейших исследованиях по проблеме Варинга Карацуба получил двумерное обобщение этой проблемы. Рассматривается система уравнений:

$x_{1}^{n-i}y_{1}^{i}+\ldots +x_{k}^{n-i}y_{k}^{i}=N_{i},\quad i=0,\;1,\;\ldots ,\;n$,

где $N_{i}$ — заданные положительные целые числа, имеющие одинаковый порядок роста, $N_{0}\to +\infty$, а $x_{\varkappa },\;y_{\varkappa }$ — неизвестные, но также положительные целые числа. Согласно двумерному обобщению, эта система разрешима, если $k>cn^{2}\log n$, а если $k<c_{1}n^{2}$, то существуют такие $N_{i}$, что система не имеет решений.

Родственные задачи

В теории диофантовых уравнений близкими к проблеме Варинга являются задачи представления натурального числа суммой значений многочлена одной переменной и однородным многочленом нескольких переменных. Известно, что любое натуральное число представимо суммой трёх треугольных чисел $T_{n}={n+1 \choose 2}$, а все достаточно большие нечётные целые представимы трёхчленной квадратичной формой Рамануджана $x^{2}+y^{2}+10z^{2}$. Согласно теореме Лагранжа о сумме четырёх квадратов и теореме Лежандра о трёх квадратах и для того, и для другого требуется сумма не менее четырёх квадратов.

Проблемой Варинга в научных статьях могут называться и более частные задачи.

Литература

• Математический энциклопедический словарь. — М.: «Сов. энциклопедия», 1988. — С. 847.
• Элементарные методы в аналитической теории чисел. — М.: Физматгиз, 1962. — С. 272.
• Nathanson, Melvyn B. Additive Number Theory: The Classical Bases (англ.). — Springer-Verlag, 1996. — Vol. 164. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 0-387-94656-X.
• А. Буфетов, А. Я. Канель. Новое элементарное решение проблемы Варинга. — Фундамент. и прикл. матем., 3:4 (1997), 1239–1252
• Б. И. Сегал, Тригонометрические суммы и некоторые их применения к теории чисел - содержит полное изложение метода Харди-Литтлвуда на русском языке