Проблема Томсона

Задача проблемы Томсона состоит в том, чтобы определить минимальную конфигурацию полной потенциальной энергии электростатического заряда для N электронов, ограниченных поверхностью единичной сферы, которые отталкиваются друг от друга силой, определяемой Законом Кулона. Физик Дж. Дж. Томсон поставил проблему в 1904 г. после того, как предложил модель атома, позже названную пудинговой моделью, основанную на его знаниях о существовании отрицательно заряженных электронов в нейтрально заряженных атомах.

Связанные проблемы включают изучение геометрии конфигурации минимальной энергии и изучение поведения N минимальной энергии при больших N.

Математическая формулировка править

Физическая система, воплощённая в задаче Томсона, является частным случаем одной из восемнадцати нерешённых математических задач, предложенных математиком Стивеном Смейлом — «Распределение точек на сфере». Решение каждой проблемы N электронов получается, когда конфигурация N электронов ограниченная поверхностью сферы единичного радиуса, r = 1, даёт глобальный минимум электростатической потенциальной энергии U(N)

Энергия электростатического взаимодействия, возникающая между каждой парой электронов равных зарядов ( $e_{i}=e_{j}=e$ , элементарный заряд электрона) определяется законом Кулона,

${U_{ij}(N)=k_{e}{e_{i}e_{j} \over r_{ij}}.}$

здесь $k_{e}$ — постоянная Кулона и $r_{ij}=|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|$ расстояние между каждой парой электронов, расположенных в точках на сфере, определяемых векторами ${r}_{i}$ и ${r}_{j}$ соответственно.

Упрощенные единицы $e=1$ и $k_{e}=1$ используются без потери основного смысла. Потом,

${\ U_{ij}(N)={1 \over r_{ij}}.}$

Полная потенциальная энергия электростатического заряда каждой конфигурации N-электронов может быть выражена как сумма всех парных взаимодействий.

${\displaystyle U(N)=\sum _{i<j}{\frac {1}{r_{ij}}}.}$

Глобальная минимизация по всем возможным наборам из N различных точек обычно находят алгоритмы численной минимизации.

Пример править

Решение проблемы Томсона для двух электронов получается, когда оба электрона находятся как можно дальше друг от друга на противоположных сторонах начала координат, ${\displaystyle r_{ij}=2r=2}$ , или

{\displaystyle U(2)={1 \over 2}.}

Известные решения править

Схематические геометрические решения математической задачи Томсона для до N = 5 электронов.

Конфигурации минимальной энергии были строго определены только в нескольких случаях.

При N = 1 решение тривиально, так как электрон может находиться в любой точке поверхности единичной сферы. Полная энергия конфигурации определяется как ноль, так как электрон не подвергается воздействию электрического поля из-за каких-либо других источников заряда.
При N = 2 оптимальная конфигурация состоит из электронов в антиподальных точках .
При N = 3 электроны находятся в вершинах равностороннего треугольника вокруг большой окружности .
При N = 4 электроны находятся в вершинах правильного тетраэдра .
Для N = 5 в 2010 году было получено математически строгое компьютерное решение с электронами, находящимися в вершинах треугольной дипирамиды .
При N = 6 электроны находятся в вершинах правильного октаэдра.
При N = 12 электроны находятся в вершинах правильного икосаэдра.

Примечательно, что геометрические решения задачи Томсона для N = 4, 6 и 12 электронов известны как твердые тела Платона, грани которых являются равными равносторонними треугольниками. Численные решения для N = 8 и 20 не являются правильными выпуклыми многогранными конфигурациями оставшихся двух платоновых тел, грани которых являются квадратными и пятиугольными, соответственно.

Обобщения править

Можно также запросить основные состояния частиц, взаимодействующих с произвольными потенциалами. Чтобы быть математически точным, пусть f будет убывающей вещественной функцией. Определим энергетическую функцию $\sum _{i<j}f(|x_{i}-x_{j}|)$

Традиционно считается ${\displaystyle f(x)=x^{-\alpha }}$ также известная как ядро Рисса. Для неинтегрируемых ядер Рисса справедлива теорема о бублике с маком. Известные случаи включают α = ∞, проблему Таммеса ; α = 1, проблема Томсона; α = 0, задача Уайта (максимизировать произведение расстояний).

Отношения к другим научным проблемам править

Проблема Томсона является естественным следствием модели сливового пудинга Томсона в отсутствие ее равномерного положительного фонового заряда.

«Ни один факт, обнаруженный об атоме, не может быть тривиальным и не может ускорить прогресс физической науки, так как большая часть естественной философии является результатом структуры и механизма атома».

Хотя экспериментальные данные привели к отказу от томсоновской модели пудинга в качестве полной модели атома, было обнаружено, что неоднородности, наблюдаемые в численных энергетических решениях задачи Томсона, соответствуют наполнению электронной оболочки естественными атомами по всей периодической таблице элементов.

Проблема Томсона также играет роль в изучении других физических моделей, включая многоэлектронные пузырьки и упорядочение поверхности жидких металлических капель, заключенных в ловушках Пола .

Обобщенная проблема Томсона возникает, например, при определении расположения белковых субъединиц, которые составляют оболочки сферических вирусов . «Частицы» в данном случае представляют собой кластеры белковых субъединиц, расположенных на оболочке. Другие примеры включают в себя регулярное расположение коллоидных частиц в коллоидосомах , предлагаемых для инкапсуляции активных ингредиентов, таких как лекарственные средства, питательные вещества или живые клетки, фуллереновые структуры атомов углерода и теория отталкивания электронных пар. Примером дальнодействующих логарифмических взаимодействий являются вихри Абрикосова, которые образовались бы при низких температурах в сверхпроводящей металлической оболочке с большим электромагнитным полем в центре.

Конфигурации наименьшей известной энергии править

В следующей таблице $N$ — количество точек (зарядов) в конфигурации, $E_{1}$ — энергия, тип симметрии указан в нотации Шёнфлиса (см. Точечные группы в трёх измерениях), $r_{i}$ — позиции зарядов. Большинство типов симметрии требуют, чтобы векторная сумма положений (и, следовательно, электрический дипольный момент) была равна нулю.

Принято также учитывать многогранник, образованный выпуклой оболочкой точек. Таким образом, $v_{i}$ — число вершин, где встречается данное число рёбер, $e$ — общее количество рёбер, $f_{3}$ — количество треугольных граней, $f_{4}$ — четырёхугольных граней, и $\theta _{1}$ — наименьший угол, представленный векторами, связанными с ближайшей парой зарядов. Обратите внимание, что длины рёбер обычно не равны; таким образом (за исключением случаев N = 4, 6, 12, 24) выпуклая оболочка только топологически эквивалентна однородному многограннику или телу Джонсона. Вторые перечислены в последнем столбце.

N	E₁	Cимметричность	${\displaystyle \left\|\sum \mathbf {r} _{i}\right\|}$	${\displaystyle v_{3}}$	${\displaystyle v_{4}}$	${\displaystyle v_{5}}$	${\displaystyle v_{6}}$	${\displaystyle v_{7}}$	${\displaystyle v_{8}}$	e	$f_{3}$	$f_{4}$	$\theta _{1}$	Эквивалентный многогранник
2	0,500000000	$D_{\infty h}$	0	—	—	—	—	—	—	1	—	—	180,000 °	двуугольник
3	1,732050808	$D_{3h}$	0	—	—	—	—	—	—	3	1	—	120,000 °	треугольник
4	3,674234614	$T_{d}$	0	4	0	0	0	0	0	6	4	0	109,471 °	тетраэдр
5	6,474691495	$D_{3h}$	0	2	3	0	0	0	0	9	6	0	90,000 °	треугольная дипирамида
6	9,985281374	$O_{h}$	0	0	6	0	0	0	0	12	8	0	90,000 °	октаэдр
7	+14,452977414	$D_{5h}$	0	0	5	2	0	0	0	15	10	0	72,000 °	пятиугольная дипирамида
8	+19,675287861	$D_{4d}$	0	0	8	0	0	0	0	16	8	2	71,694 °	квадратная антипризма
9	+25,759986531	$D_{3h}$	0	0	3	6	0	0	0	21	14	0	69,190 °	треугольная призма
10	+32,716949460	$D_{4d}$	0	0	2	8	0	0	0	24	16	0	64,996 °	Гиро удлиненная квадратная дипирамида
11	+40,596450510	$C_{2v}$	0,013219635	0	2	8	1	0	0	27	18	0	58,540 °	икосаэдр, сжатый ребром
12	+49,165253058	$I_{h}$	0	0	0	12	0	0	0	30	20	0	63,435 °	икосаэдр
13	+58,853230612	$C_{2v}$	0,008820367	0	1	10	2	0	0	33	22	0	52,317 °	—
14	+69,306363297	$D_{6d}$	0	0	0	12	2	0	0	36	24	0	52,866 °	скрученно удлиненная гексагональная дипирамида
15	+80,670244114	$D_{3}$	0	0	0	12	3	0	0	39	26	0	49,225 °	—
16	+92,911655302	$T$	0	0	0	12	4	0	0	42	28	0	48,936 °	—
17	+106,050404829	$D_{5h}$	0	0	0	12	5	0	0	45	30	0	50,108 °	—
18	+120,084467447	$D_{4d}$	0	0	2	8	8	0	0	48	32	0	47,534 °	—
19	+135,089467557	$C_{2v}$	0,000135163	0	0	14	5	0	0	50	32	1	44,910 °	—
20	+150,881568334	$D_{3h}$	0	0	0	12	8	0	0	54	36	0	46,093 °	—
21	+167,641622399	$C_{2v}$	0,001406124	0	1	10	10	0	0	57	38	0	44,321 °	—
22	+185,287536149	$T_{d}$	0	0	0	12	10	0	0	60	40	0	43,302 °	—
23	+203,930190663	$D_{3}$	0	0	0	12	11	0	0	63	42	0	41,481 °	—
24	+223,347074052	$O$	0	0	0	24	0	0	0	60	32	6	42,065 °	курносый куб
25	+243,812760299	$C_{S}$	0,001021305	0	0	14	11	0	0	68	44	1	39,610 °	—
26	+265,133326317	$C_{2}$	0,001919065	0	0	12	14	0	0	72	48	0	38,842 °	—
27	+287,302615033	$D_{5h}$	0	0	0	12	15	0	0	75	50	0	39,940 °	—
28	+310,491542358	$T$	0	0	0	12	16	0	0	78	52	0	37,824 °	—
29	+334,634439920	$D_{3}$	0	0	0	12	17	0	0	81	54	0	36,391 °	—
30	+359,603945904	$D_{2}$	0	0	0	12	18	0	0	84	56	0	36,942 °	—
31	+385,530838063	$C_{3v}$	0,003204712	0	0	12	19	0	0	87	58	0	36,373 °	—
32	+412,261274651	$I_{h}$	0	0	0	12	20	0	0	90	60	0	37,377 °	—
33	+440,204057448	$C_{s}$	0,004356481	0	0	15	17	1	0	92	60	1	33,700 °	—
34	+468,904853281	$D_{2}$	0	0	0	12	22	0	0	96	64	0	33,273 °	—
35	+498,569872491	$C_{2}$	0,000419208	0	0	12	23	0	0	99	66	0	33,100 °	—
36	+529,122408375	$D_{2}$	0	0	0	12	24	0	0	102	68	0	33,229 °	—
37	+560,618887731	$D_{5h}$	0	0	0	12	25	0	0	105	70	0	32,332 °	—
38	+593,038503566	$D_{6d}$	0	0	0	12	26	0	0	108	72	0	33,236 °	—
39	+626,389009017	$D_{3h}$	0	0	0	12	27	0	0	111	74	0	32,053 °	—
40	+660,675278835	$T_{d}$	0	0	0	12	28	0	0	114	76	0	31,916 °	—
41	+695,916744342	$D_{3h}$	0	0	0	12	29	0	0	117	78	0	31,528 °	—
42	+732,078107544	$D_{5h}$	0	0	0	12	30	0	0	120	80	0	31,245 °	—
43	+769,190846459	$C_{2v}$	0,000399668	0	0	12	31	0	0	123	82	0	30,867 °	—
44	+807,174263085	$O_{h}$	0	0	0	24	20	0	0	120	72	6	31,258 °	—
45	+846,188401061	$D_{3}$	0	0	0	12	33	0	0	129	86	0	30,207 °	—
46	+886,167113639	$T$	0	0	0	12	34	0	0	132	88	0	29,790 °	—
47	+927,059270680	$C_{s}$	0,002482914	0	0	14	33	0	0	134	88	1	28,787 °	—
48	+968,713455344	$O$	0	0	0	24	24	0	0	132	80	6	29,690 °	—
49	+1011,557182654	$C_{3}$	0,001529341	0	0	12	37	0	0	141	94	0	28,387 °	—
50	+1055,182314726	$D_{6d}$	0	0	0	12	38	0	0	144	96	0	29,231 °	—
51	+1099,819290319	$D_{3}$	0	0	0	12	39	0	0	147	98	0	28,165 °	—
52	+1145,418964319	$C_{3}$	0,000457327	0	0	12	40	0	0	150	100	0	27,670 °	—
53	+1191,922290416	$C_{2v}$	0,000278469	0	0	18	35	0	0	150	96	3	27,137 °	—
54	+1239,361474729	$C_{2}$	0,000137870	0	0	12	42	0	0	156	104	0	27,030 °	—
55	+1287,772720783	$C_{2}$	0,000391696	0	0	12	43	0	0	159	106	0	26,615 °	—
56	+1337,094945276	$D_{2}$	0	0	0	12	44	0	0	162	108	0	26,683 °	—
57	+1387,383229253	$D_{3}$	0	0	0	12	45	0	0	165	110	0	26,702 °	—
58	+1438,618250640	$D_{2}$	0	0	0	12	46	0	0	168	112	0	26,155 °	—
59	+1490,773335279	$C_{2}$	0,000154286	0	0	14	43	2	0	171	114	0	26,170 °	—
60	+1543,830400976	$D_{3}$	0	0	0	12	48	0	0	174	116	0	25,958 °	—
61	+1597,941830199	$C_{1}$	0,001091717	0	0	12	49	0	0	177	118	0	25,392 °	—
62	+1652,909409898	$D_{5}$	0	0	0	12	50	0	0	180	120	0	25,880 °	—
63	+1708,879681503	$D_{3}$	0	0	0	12	51	0	0	183	122	0	25,257 °	—
64	+1765,802577927	$D_{2}$	0	0	0	12	52	0	0	186	124	0	24,920 °	—
65	+1823,667960264	$C_{2}$	0,000399515	0	0	12	53	0	0	189	126	0	24,527 °	—
66	+1882,441525304	$C_{2}$	0,000776245	0	0	12	54	0	0	192	128	0	24,765 °	—
67	+1942,122700406	$D_{5}$	0	0	0	12	55	0	0	195	130	0	24,727 °	—
68	+2002,874701749	$D_{2}$	0	0	0	12	56	0	0	198	132	0	24,433 °	—
69	+2064,533483235	$D_{3}$	0	0	0	12	57	0	0	201	134	0	24,137 °	—
70	+2127,100901551	$D_{2d}$	0	0	0	12	50	0	0	200	128	4	24,291 °	—
71	+2190,649906425	$C_{2}$	0,001256769	0	0	14	55	2	0	207	138	0	23,803 °	—
72	+2255,001190975	$I$	0	0	0	12	60	0	0	210	140	0	24,492 °	—
73	+2320,633883745	$C_{2}$	0,001572959	0	0	12	61	0	0	213	142	0	22,810 °	—
74	+2387,072981838	$C_{2}$	0,000641539	0	0	12	62	0	0	216	144	0	22,966 °	—
75	+2454,369689040	$D_{3}$	0	0	0	12	63	0	0	219	146	0	22,736 °	—
76	+2522,674871841	$C_{2}$	0,000943474	0	0	12	64	0	0	222	148	0	22,886 °	—
77	+2591,850152354	$D_{5}$	0	0	0	12	65	0	0	225	150	0	23,286 °	—
78	+2662,046474566	$T_{h}$	0	0	0	12	66	0	0	228	152	0	23,426 °	—
79	+2733,248357479	$C_{s}$	0,000702921	0	0	12	63	1	0	230	152	1	22,636 °	—
80	+2805,355875981	$D_{4d}$	0	0	0	16	64	0	0	232	152	2	22,778 °	—
81	+2878,522829664	$C_{2}$	0,000194289	0	0	12	69	0	0	237	158	0	21,892 °	—
82	+2952,569675286	$D_{2}$	0	0	0	12	70	0	0	240	160	0	22,206 °	—
83	+3027,528488921	$C_{2}$	0,000339815	0	0	14	67	2	0	243	162	0	21,646 °	—
84	+3103,465124431	$C_{2}$	0,000401973	0	0	12	72	0	0	246	164	0	21,513 °	—
85	+3180,361442939	$C_{2}$	0,000416581	0	0	12	73	0	0	249	166	0	21,498 °	—
86	+3258,211605713	$C_{2}$	0,001378932	0	0	12	74	0	0	252	168	0	21,522 °	—
87	+3337,000750014	$C_{2}$	0,000754863	0	0	12	75	0	0	255	170	0	21,456 °	—
88	+3416,720196758	$D_{2}$	0	0	0	12	76	0	0	258	172	0	21,486 °	—
89	+3497,439018625	$C_{2}$	0,000070891	0	0	12	77	0	0	261	174	0	21,182 °	—
90	+3579,091222723	$D_{3}$	0	0	0	12	78	0	0	264	176	0	21,230 °	—
91	+3661,713699320	$C_{2}$	0,000033221	0	0	12	79	0	0	267	178	0	21,105 °	—
92	+3745,291636241	$D_{2}$	0	0	0	12	80	0	0	270	180	0	21,026 °	—
93	+3829,844338421	$C_{2}$	0,000213246	0	0	12	81	0	0	273	182	0	20,751 °	—
94	+3915,309269620	$D_{2}$	0	0	0	12	82	0	0	276	184	0	20,952 °	—
95	+4001,771675565	$C_{2}$	0,000116638	0	0	12	83	0	0	279	186	0	20,711 °	—
96	+4089,154010060	$C_{2}$	0,000036310	0	0	12	84	0	0	282	188	0	20,687 °	—
97	+4177,533599622	$C_{2}$	0,000096437	0	0	12	85	0	0	285	190	0	20,450 °	—
98	+4266,822464156	$C_{2}$	0,000112916	0	0	12	86	0	0	288	192	0	20,422 °	—
99	+4357,139163132	$C_{2}$	0,000156508	0	0	12	87	0	0	291	194	0	20,284 °	—
100	+4448,350634331	$T$	0	0	0	12	88	0	0	294	196	0	20,297 °	—
101	+4540,590051694	$D_{3}$	0	0	0	12	89	0	0	297	198	0	20,011 °	—
102	+4633,736565899	$D_{3}$	0	0	0	12	90	0	0	300	200	0	20,040 °	—
103	+4727,836616833	$C_{2}$	0,000201245	0	0	12	91	0	0	303	202	0	19,907 °	—
104	+4822,876522746	$D_{6}$	0	0	0	12	92	0	0	306	204	0	19,957 °	—
105	+4919,000637616	$D_{3}$	0	0	0	12	93	0	0	309	206	0	19,842 °	—
106	+5015,984595705	$D_{2}$	0	0	0	12	94	0	0	312	208	0	19,658 °	—
107	+5113,953547724	$C_{2}$	0,000064137	0	0	12	95	0	0	315	210	0	19,327 °	—
108	+5212,813507831	$C_{2}$	0,000432525	0	0	12	96	0	0	318	212	0	19,327 °	—
109	+5312,735079920	$C_{2}$	0,000647299	0	0	14	93	2	0	321	214	0	19,103 °	—
110	+5413,549294192	$D_{6}$	0	0	0	12	98	0	0	324	216	0	19,476 °	—
111	+5515,293214587	$D_{3}$	0	0	0	12	99	0	0	327	218	0	19,255 °	—
112	+5618,044882327	$D_{5}$	0	0	0	12	100	0	0	330	220	0	19,351 °	—
113	+5721,824978027	$D_{3}$	0	0	0	12	101	0	0	333	222	0	18,978 °	—
114	+5826,521572163	$C_{2}$	0,000149772	0	0	12	102	0	0	336	224	0	18,836 °	—
115	+5932,181285777	$C_{3}$	0,000049972	0	0	12	103	0	0	339	226	0	18,458 °	—
116	+6038,815593579	$C_{2}$	0,000259726	0	0	12	104	0	0	342	228	0	18,386 °	—
117	+6146,342446579	$C_{2}$	0,000127609	0	0	12	105	0	0	345	230	0	18,566 °	—
118	+6254,877027790	$C_{2}$	0,000332475	0	0	12	106	0	0	348	232	0	18,455 °	—
119	+6364,347317479	$C_{2}$	0,000685590	0	0	12	107	0	0	351	234	0	18,336 °	—
120	+6474,756324980	$C_{s}$	0,001373062	0	0	12	108	0	0	354	236	0	18,418 °	—
121	+6586,121949584	$C_{3}$	0,000838863	0	0	12	109	0	0	357	238	0	18,199 °	—
122	+6698,374499261	$I_{h}$	0	0	0	12	110	0	0	360	240	0	18,612 °	—
123	+6811,827228174	$C_{2v}$	0,001939754	0	0	14	107	2	0	363	242	0	17,840 °	—
124	+6926,169974193	$D_{2}$	0	0	0	12	112	0	0	366	244	0	18,111 °	—
125	+7041,473264023	$C_{2}$	0,000088274	0	0	12	113	0	0	369	246	0	17,867 °	—
126	+7157,669224867	$D_{4}$	0	0	2	16	100	8	0	372	248	0	17,920 °	—
127	+7274,819504675	$D_{5}$	0	0	0	12	115	0	0	375	250	0	17,877 °	—
128	+7393,007443068	$C_{2}$	0,000054132	0	0	12	116	0	0	378	252	0	17,814 °	—
129	+7512,107319268	$C_{2}$	0,000030099	0	0	12	117	0	0	381	254	0	17,743 °	—
130	+7632,167378912	$C_{2}$	0,000025622	0	0	12	118	0	0	384	256	0	17,683 °	—
131	+7753,205166941	$C_{2}$	0,000305133	0	0	12	119	0	0	387	258	0	17,511 °	—
132	+7875,045342797	$I$	0	0	0	12	120	0	0	390	260	0	17,958 °	—
133	+7998,179212898	$C_{3}$	0,000591438	0	0	12	121	0	0	393	262	0	17,133 °	—
134	+8122,089721194	$C_{2}$	0,000470268	0	0	12	122	0	0	396	264	0	17,214 °	—
135	+8246,909486992	$D_{3}$	0	0	0	12	123	0	0	399	266	0	17,431 °	—
136	+8372,743302539	$T$	0	0	0	12	124	0	0	402	268	0	17,485 °	—
137	+8499,534494782	$D_{5}$	0	0	0	12	125	0	0	405	270	0	17,560 °	—
138	+8627,406389880	$C_{2}$	0,000473576	0	0	12	126	0	0	408	272	0	16,924 °	—
139	+8756,227056057	$C_{2}$	0,000404228	0	0	12	127	0	0	411	274	0	16,673 °	—
140	+8885,980609041	$C_{1}$	0,000630351	0	0	13	126	1	0	414	276	0	16,773 °	—
141	+9016,615349190	$C_{2v}$	0,000376365	0	0	14	126	0	1	417	278	0	16,962 °	—
142	+9148,271579993	$C_{2}$	0,000550138	0	0	12	130	0	0	420	280	0	16,840 °	—
143	+9280,839851192	$C_{2}$	0,000255449	0	0	12	131	0	0	423	282	0	16,782 °	—
144	+9414,371794460	$D_{2}$	0	0	0	12	132	0	0	426	284	0	16,953 °	—
145	+9548,928837232	$C_{s}$	0,000094938	0	0	12	133	0	0	429	286	0	16,841 °	—
146	+9684,381825575	$D_{2}$	0	0	0	12	134	0	0	432	288	0	16,905 °	—
147	+9820,932378373	$C_{2}$	0,000636651	0	0	12	135	0	0	435	290	0	16,458 °	—
148	+9958,406004270	$C_{2}$	0,000203701	0	0	12	136	0	0	438	292	0	16,627 °	—
149	+10096,859907397	$C_{1}$	0,000638186	0	0	14	133	2	0	441	294	0	16,344 °	—
150	+10236,196436701	$T$	0	0	0	12	138	0	0	444	296	0	16,405 °	—
151	+10376,571469275	$C_{2}$	0,000153836	0	0	12	139	0	0	447	298	0	16,163 °	—
152	+10517,867592878	$D_{2}$	0	0	0	12	140	0	0	450	300	0	16,117 °	—
153	+10660,082748237	$D_{3}$	0	0	0	12	141	0	0	453	302	0	16,390 °	—
154	+10803,372421141	$C_{2}$	0,000735800	0	0	12	142	0	0	456	304	0	16,078 °	—
155	+10947,574692279	$C_{2}$	0,000603670	0	0	12	143	0	0	459	306	0	15,990 °	—
156	+11092,798311456	$C_{2}$	0,000508534	0	0	12	144	0	0	462	308	0	15,822 °	—
157	+11238,903041156	$C_{2}$	0,000357679	0	0	12	145	0	0	465	310	0	15,948 °	—
158	+11385,990186197	$C_{2}$	0,000921918	0	0	12	146	0	0	468	312	0	15,987 °	—
159	+11534,023960956	$C_{2}$	0,000381457	0	0	12	147	0	0	471	314	0	15,960 °	—
160	+11683,054805549	$D_{2}$	0	0	0	12	148	0	0	474	316	0	15,961 °	—
161	+11833,084739465	$C_{2}$	0,000056447	0	0	12	149	0	0	477	318	0	15,810 °	—
162	+11984,050335814	$D_{3}$	0	0	0	12	150	0	0	480	320	0	15,813 °	—
163	+12136,013053220	$C_{2}$	0,000120798	0	0	12	151	0	0	483	322	0	15,675 °	—
164	+12288,930105320	$D_{2}$	0	0	0	12	152	0	0	486	324	0	15,655 °	—
165	+12442,804451373	$C_{2}$	0,000091119	0	0	12	153	0	0	489	326	0	15,651 °	—
166	+12597,649071323	$D_{2d}$	0	0	0	16	146	4	0	492	328	0	15,607 °	—
167	+12753,469429750	$C_{2}$	0,000097382	0	0	12	155	0	0	495	330	0	15,600 °	—
168	+12910,212672268	$D_{3}$	0	0	0	12	156	0	0	498	332	0	15,655 °	—
169	+13068,006451127	$C_{s}$	0,000068102	0	0	13	155	1	0	501	334	0	15,537 °	—
170	+13226,681078541	$D_{2d}$	0	0	0	12	158	0	0	504	336	0	15,569 °	—
171	+13386,355930717	$D_{3}$	0	0	0	12	159	0	0	507	338	0	15,497 °	—
172	+13547,018108787	$C_{2v}$	0,000547291	0	0	14	156	2	0	510	340	0	15,292 °	—
173	+13708,635243034	$C_{s}$	0,000286544	0	0	12	161	0	0	513	342	0	15,225 °	—
174	+13871,187092292	$D_{2}$	0	0	0	12	162	0	0	516	344	0	15,366 °	—
175	+14034,781306929	$C_{2}$	0,000026686	0	0	12	163	0	0	519	346	0	15,252 °	—
176	+14199,354775632	$C_{1}$	0,000283978	0	0	12	164	0	0	522	348	0	15,101 °	—
177	+14364,837545298	$D_{5}$	0	0	0	12	165	0	0	525	350	0	15,269 °	—
178	+14531,309552587	$D_{2}$	0	0	0	12	166	0	0	528	352	0	15,145 °	—
179	+14698,754594220	$C_{1}$	0,000125113	0	0	13	165	1	0	531	354	0	14,968 °	—
180	+14867,099927525	$D_{2}$	0	0	0	12	168	0	0	534	356	0	15,067 °	—
181	+15036,467239769	$C_{2}$	0,000304193	0	0	12	169	0	0	537	358	0	15,002 °	—
182	+15206,730610906	$D_{5}$	0	0	0	12	170	0	0	540	360	0	15,155 °	—
183	+15378,166571028	$C_{1}$	0,000467899	0	0	12	171	0	0	543	362	0	14,747 °	—
184	+15550,421450311	$T$	0	0	0	12	172	0	0	546	364	0	14,932 °	—
185	+15723,720074072	$C_{2}$	0,000389762	0	0	12	173	0	0	549	366	0	14,775 °	—
186	+15897,897437048	$C_{1}$	0,000389762	0	0	12	174	0	0	552	368	0	14,739 °	—
187	+16072,975186320	$D_{5}$	0	0	0	12	175	0	0	555	370	0	14,848 °	—
188	+16249,222678879	$D_{2}$	0	0	0	12	176	0	0	558	372	0	14,740 °	—
189	+16426,371938862	$C_{2}$	0,000020732	0	0	12	177	0	0	561	374	0	14,671 °	—
190	+16604,428338501	$C_{3}$	0,000586804	0	0	12	178	0	0	564	376	0	14,501 °	—
191	+16783,452219362	$C_{1}$	0,001129202	0	0	13	177	1	0	567	378	0	14,195 °	—
192	+16963,338386460	$I$	0	0	0	12	180	0	0	570	380	0	14,819 °	—
193	+17144,564740880	$C_{2}$	0,000985192	0	0	12	181	0	0	573	382	0	14,144 °	—
194	+17326,616136471	$C_{1}$	0,000322358	0	0	12	182	0	0	576	384	0	14,350 °	—
195	+17509,489303930	$D_{3}$	0	0	0	12	183	0	0	579	386	0	14,375 °	—
196	+17693,460548082	$C_{2}$	0,000315907	0	0	12	184	0	0	582	388	0	14,251 °	—
197	+17878,340162571	$D_{5}$	0	0	0	12	185	0	0	585	390	0	14,147 °	—
198	+18064,262177195	$C_{2}$	0,000011149	0	0	12	186	0	0	588	392	0	14,237 °	—
199	+18251,082495640	$C_{1}$	0,000534779	0	0	12	187	0	0	591	394	0	14,153 °	—
200	+18438,842717530	$D_{2}$	0	0	0	12	188	0	0	594	396	0	14,222 °	—
201	+18627,591226244	$C_{1}$	0,001048859	0	0	13	187	1	0	597	398	0	13,830 °	—
202	+18817,204718262	$D_{5}$	0	0	0	12	190	0	0	600	400	0	14,189 °	—
203	+19007,981204580	$C_{s}$	0,000600343	0	0	12	191	0	0	603	402	0	13,977 °	—
204	+19199,540775603	$T_{h}$	0	0	0	12	192	0	0	606	404	0	14,291 °	—
212	+20768,053085964	$I$	0	0	0	12	200	0	0	630	420	0	14,118 °	—
214	+21169,910410375	$T$	0	0	0	12	202	0	0	636	424	0	13,771 °	—
216	+21575,596377869	$D_{3}$	0	0	0	12	204	0	0	642	428	0	13,735 °	—
217	+21779,856080418	$D_{5}$	0	0	0	12	205	0	0	645	430	0	13,902 °	—
232	+24961,252318934	$T$	0	0	0	12	220	0	0	690	460	0	13,260 °	—
255	+30264,424251281	$D_{3}$	0	0	0	12	243	0	0	+759	506	0	12,565 °	—
256	+30506,687515847	$T$	0	0	0	12	244	0	0	762	508	0	12,572 °	—
257	+30749,941417346	$D_{5}$	0	0	0	12	245	0	0	765	510	0	12,672 °	—
272	+34515,193292681	$I_{h}$	0	0	0	12	260	0	0	810	540	0	12,335 °	—
282	+37147,294418462	$I$	0	0	0	12	270	0	0	840	560	0	12,166 °	—
292	+39877,008012909	$D_{5}$	0	0	0	12	280	0	0	870	580	0	11,857 °	—
306	+43862,569780797	$T_{h}$	0	0	0	12	294	0	0	912	608	0	11,628 °	—
312	+45629,313804002	$C_{2}$	0,000306163	0	0	12	300	0	0	930	620	0	11,299 °	—
315	+46525,825643432	$D_{3}$	0	0	0	12	303	0	0	+939	626	0	11,337 °	—
317	+47128,310344520	$D_{5}$	0	0	0	12	305	0	0	945	630	0	11,423 °	—
318	+47431,056020043	$D_{3}$	0	0	0	12	306	0	0	+948	632	0	11,219 °	—
334	+52407,728127822	$T$	0	0	0	12	322	0	0	+996	664	0	11,058 °	—
348	+56967,472454334	$T_{h}$	0	0	0	12	336	0	0	1038	692	0	10,721 °	—
357	+59999,922939598	$D_{5}$	0	0	0	12	345	0	0	1065	710	0	10,728 °	—
358	+60341,830924588	$T$	0	0	0	12	346	0	0	1068	712	0	10,647 °	—
372	+65230,027122557	$I$	0	0	0	12	360	0	0	1110	740	0	10,531 °	—
382	+68839,426839215	$D_{5}$	0	0	0	12	370	0	0	1140	760	0	10,379 °	—
390	+71797,035335953	$T_{h}$	0	0	0	12	378	0	0	1164	+776	0	10,222 °	—
392	+72546,258370889	$I$	0	0	0	12	380	0	0	1170	780	0	10,278 °	—
400	+75582,448512213	$T$	0	0	0	12	388	0	0	+1194	+796	0	10,068 °	—
402	+76351,192432673	$D_{5}$	0	0	0	12	390	0	0	1200	800	0	10,099 °	—
432	+88353,709681956	$D_{3}$	0	0	0	24	396	12	0	1290	860	0	9,556 °	—
448	+95115,546986209	$T$	0	0	0	24	412	12	0	1338	892	0	9,322 °	—
460	+100351,763108673	$T$	0	0	0	24	424	12	0	1374	916	0	9,297 °	—
468	+103920,871715127	$S_{6}$	0	0	0	24	432	12	0	1398	+932	0	9,120 °	—
470	+104822,886324279	$S_{6}$	0	0	0	24	434	12	0	1404	+936	0	9,059 °	—

Согласно предположению, если ${\displaystyle m=n+2}$ , p — многогранник, образованный выпуклой оболочкой из m точек, q — число четырехугольных граней p , то решение для m электронов равно f (m): ${\displaystyle f(m)=0^{n}+3n-q}$ .

Ссылки править

Томсон, Джозеф Джон (март 1904 г.). «О структуре атома: исследование устойчивости и периодов колебаний ряда корпускул, расположенных через равные интервалы вокруг окружности круга; с применением результатов к теории атомной структуры» (PDF) . Философский Журнал . Серия 6. 7 (39): 237—265. doi : 10.1080 / 14786440409463107 . Архивировано из оригинального(PDF) 13 декабря 2013 года.
Смейл, С. (1998)."Математические проблемы будущего века". «Математический интеллект».
Föppl, Л. (1912). «Стабильное расположение электронов в атоме» Дж. Рейн Энджью. Математика (141): 251—301
Шварц, Ричард (2010). «Пятиэлектронный случай проблемы Томсона». arXiv : 1001.3702 ;[ math.MG ].
^ Ландкоф Н. С. Основы современной теории потенциала. Перевод с русского А. П. Духовского. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, группа 180. Springer-Verlag, Нью-Йорк-Гейдельберг, 1972. х + 424 с.
^ Хардин Д.П .; Сафф, Э. Б. Дискретизирующие многообразия через точки минимальной энергии. Заметки амер. Математика Soc. 51 (2004), нет. 10, 1186—1194
^ Левин, Y .; Arenzon, JJ (2003). «Почему заряды уходят на поверхность: обобщенная проблема Томсона». Europhys. Lett . 63 (3): 415. arXiv : cond-mat / 0302524. doi : 10.1209 / epl / i2003-00546-1 .
^ Сэр Дж. Дж. Томсон, лекция Романов, 1914 (Атомная теория)
LaFave Jr, Тим (2013). «Соответствия между классической электростатической проблемой Томсона и атомной электронной структурой». Журнал Электростатики . 71 (6): 1029—1035. arXiv : 1403.2591. doi : 10.1016 / j.elstat.2013.10.001 .
Кевин Браун. «Конфигурации минимальных энергий электронов на сфере» . Получено 2014-05-01.
«Sloane’s A008486 (см. Комментарий от 03 февраля 2017 г.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS . Получено 2017-02-08