Проективная прямая

Проективная прямая — одномерное проективное пространство. Проективная прямая представляет собой множество прямых (одномерных подпространств) в 2-мерном линейном пространстве. Точки проективной прямой могут быть заданы с помощью однородных координат $[x_{1}:x_{2}]$. Как топологическое пространство, проективная прямая представляет собой одноточечную компактификацию аффинной прямой.

Примеры

Вещественная проективная прямая с пучком гладких функций является гладким многообразием. Это многообразие диффеоморфно окружности $\mathbb {R} P^{1}\cong S^{1}$. Комплексная проективная прямая $\mathbb {C} P^{1}$ — сфера Римана, — как вещественное многообразие, диффеоморфна двумерной сфере $S^{2}$. Для тела кватернионов проективная прямая, как вещественное многообразие, $\mathbb {H} P^{1}\cong S^{4}$.

Действие групп на проективной прямой

Для групп $GL_{2}(k),SL_{2}(k)$ и др. может быть определено действие на проективной прямой. Факторизуя по группе скалярных матриц, получаем группы $PGL_{2}(k),PSL_{2}(k)$, для которых это действие является точным. Для конечного поля $PSL_{2}(k)$ изоморфна некоторой подгруппе конечной симметрической группы.

В алгебраической геометрии

Проективная прямая является важным примером проективного многообразия. Полем функций проективной прямой $P^{1}(K)$ является поле $K(X)$ рациональных функций. Группой автоморфизмов поля $K(X)$ является группа $PGL_{2}(K)$. Если невырожденная квадратичная кривая содержит хотя бы одну точку, то она бирационально изоморфна проективной прямой.

Литература

• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия — М.: Наука 1986.
• Математическая энциклопедия, 1984, том 4, стр.671, статья Проективная прямая.
• Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия — М.: Мир, 1981.