Произведение Громова

Произведение Громова — расстояние, на котором две геодезические стартующих в одной точке начинают существенно расходиться.

Названо в честь Громова.

Произведение Громова используется, в частности для определения метрики на абсолютной границе метрического пространства.

Определение

Пусть зафиксирована базисная точка $x\in X$ метрического пространства $(X,d)$. Тогда, произведением Громова (относительно точки $x$) точек $y$ и $z$ этого пространства называется величина

$(y,z)_{x}:={\frac {1}{2}}(d(x,y)+d(x,z)-d(y,z)).$

Свойства

• Произведение Громова неотрицательно и симметрично: $\forall x,y,z\in X\quad (y,z)_{x}=(z,y)_{x},\quad (y,z)_{x}\geq 0.$
• Для случая дерева, $(y,z)_{x}$ есть длина совпадающей части геодезических путей $[xy]$ и $[xz]$.
• Для $\delta$-гиперболических пространств выполняется неравенство.

  $(x,z)_{p}\geq \min {\big \{}(x,y)_{p},(y,z)_{p}{\big \}}-\delta .$

Литература

• Э. Жис, П. Де ля Арп. Гиперболические группы по Михаилу Громову. — М.: Мир, 1992.