Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка — класс дифференциальных уравнений первого порядка, наиболее легко поддающихся решению и исследованию. К нему относятся уравнения в полных дифференциалах, уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения первого порядка и линейные уравнения первого порядка. Все эти уравнения можно проинтегрировать в конечном виде.

Отправной точкой изложения будет служить дифференциальное уравнение первого порядка, записанное в т. н. симметричной форме:

${\begin{matrix}P(t,x)dt+Q(t,x)dx=0\end{matrix}}\qquad (1),$

где функции $P(t,x)$ и $Q(t,x)$ определены и непрерывны в некоторой области $\Omega \subseteq \mathbb {R} _{t,x}^{2}$.

Уравнения в полных дифференциалах

Если в уравнении (1) левая часть представляет собой полный дифференциал, то есть ${\begin{matrix}P(t,x)dt+Q(t,x)dx=dU(t,x)\end{matrix}}$, то такое уравнение называется уравнением в полных дифференциалах (частный случай так называемого пфаффова уравнения). Интегральные кривые такого уравнения суть линии уровней функции $U(t,x)$, т.е. определяются уравнением $U(t,x)=C$ при всевозможных значениях произвольной постоянной $C$.

Если в области $\Omega$ выполнено условие $Q(t,x)\neq 0$ , то общее решение уравнения (1) определяется из уравнения $U(t,x)=C$ как неявная функция $x=\varphi (t,C)$. Через каждую точку области $\Omega$ проходит единственная интегральная кривая $x=\varphi (t,C)$ уравнения (1).

Если рассматриваемая область $\Omega$ односвязна, а производные ${\frac {\partial P}{\partial x}},{\frac {\partial Q}{\partial t}}$также непрерывны в $\Omega$, то для того, чтобы (1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно выполнения условия

${\frac {\partial P}{\partial x}}={\frac {\partial Q}{\partial t}}\qquad \forall (t,x)\in \Omega$

(признак уравнения в полных дифференциалах).

Интегрирующий множитель

Запрос «Интегрирующий множитель» перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

Непрерывная функция $\mu (t,x)\neq 0$ в $\Omega$ называется интегрирующим множителем уравнения (1), если уравнение $\mu (Pdt+Qdx)=0$ является уравнением в полных дифференциалах, то есть $\mu (Pdt+Qdx)=dU$ для некоторой функции $U(t,x)$. Число интегрирующих множителей данного уравнения бесконечно.

Функция $\mu (t,x)$ является интегрирующим множителем уравнения (1) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнению

${\frac {\partial {\left(\mu P\right)}}{\partial x}}={\frac {\partial {\left(\mu Q\right)}}{\partial t}}\qquad \left(2\right)$

(область $\Omega$ по-прежнему полагаем односвязной; уравнение (2) является следствием признака уравнения в полных дифференциалах).

Уравнение (2) в общем виде решается сложнее, чем (1), но для интегрирования (1) достаточно знать один интегрирующий множитель, то есть найти какое-либо одно решение уравнения (2). Обычно ищут решение (2) в виде $\mu =\mu (t)$ или $\mu =\mu (x)$, но это не всегда возможно.

Алгоритм решения

(1) ${\begin{matrix}P(t,x)dt+Q(t,x)dx=0\end{matrix}}$

(2) ${\begin{matrix}P'_{x}(t,x)=Q'_{t}(t,x)\end{matrix}}$

(3) ${\begin{matrix}U'_{t}=P(t,x),U'_{x}=Q(t,x)\end{matrix}}$

Возьмём (3).1 и проинтегрируем по переменной t:

(*) ${\begin{matrix}U(t,x)=\int P(t,x)dt+\varphi (x)\end{matrix}}$

Подставим в (3).2:

${\begin{matrix}U'_{x}(t,x)=(\int P(t,x)dt)'_{x}+\varphi '_{x}(x)\end{matrix}}$

В получившемся равенстве слагаемые, содержащие t, уничтожатся. Получим: ${\begin{matrix}\varphi '_{x}(x)=g(x)\end{matrix}}$. Проинтегрируем по x и подставим в (*).

Уравнения с разделяющимися переменными

Если в уравнении (1) $P(t,x)=T_{1}(t)X_{1}(x),\ Q(t,x)=T_{2}(t)X_{2}(x)$, то это уравнение с разделяющимися переменными. Его можно записать в симметричном виде:

$T_{1}(t)X_{1}(x)dt+T_{2}(t)X_{2}(x)dx=0\qquad \left(3\right)$

• Решения уравнения с разделяющимися переменными
  • Решения уравнения $X_{1}(x)T_{2}(t)=0$ являются решениями (3).
  • Если область $\Omega$ выбрана так, что $X_{1}(x)T_{2}(t)\neq 0\quad \forall (t,x)\in \Omega$, то разделив на $X_{1}(x)T_{2}(t)$ получим уравнение с разделёнными переменными

${\frac {T_{1}}{T_{2}}}dt+{\frac {X_{2}}{X_{1}}}dx=0.$

Это частный случай уравнения в полных дифференциалах. Для него очень просто получить решение в квадратурах. Интегральная кривая уравнения (3), проходящая через точку $(t_{0},x_{0})\in \Omega$, имеет вид:

$\int \limits _{t_{0}}^{t}{{\frac {T_{1}}{T_{2}}}dt}+\int \limits _{x_{0}}^{x}{{\frac {X_{2}}{X_{1}}}dx}=0.$

Пример дифференциального уравнения

$y'={\frac {y}{x}}+cos^{2}{\frac {y}{x}}$