Пространство Фреше

Пространство Фреше — полное локально выпуклое пространство, топология которого может быть задана метрикой. Названо в честь Мориса Фреше.

Частными случаями пространств Фреше являются банаховы пространства. Пространства Фреше сохраняют ряд важных свойств банаховых пространств, и это делает их удобными моделями локально выпуклых пространств в математике. В частности, в классе пространств Фреше справедливы

• Теорема Бэра,
• Принцип равномерной ограниченности,
• Теорема Банаха об открытом отображении,
• Теорема Банаха об обратном операторе.

Все пространства Фреше стереотипны. В теории стереотипных пространств двойственными объектами к пространствам Фреше являются пространства Браунера.

Примеры

• Всякое банахово пространство $X$ является пространством Фреше.

• Если $M$ — σ-компактное локально компактное топологическое пространство, то пространство ${\mathcal {C}}(M)$ непрерывных функций на $M$ с топологией равномерной сходимости на каждом компакте является пространством Фреше.

• Если $M$ — вещественное гладкое многообразие, то пространство ${\mathcal {C}}^{\infty }(M)$ гладких функций на $M$ с топологией равномерной сходимости на каждом компакте по каждой производной является пространством Фреше.

• Если $M$ — комплексное многообразие, то пространство ${\mathcal {O}}(M)$ голоморфных функций на $M$ с топологией равномерной сходимости на каждом компакте является пространством Фреше.

Литература

• Шефер, Х. Топологические векторные пространства (неопр.). — Москва: Мир, 1971.
• Робертсон А.П., Робертсон, В.Дж. Топологические векторные пространства (неопр.). — Москва: Мир, 1967.
• Рудин, У. Функциональный анализ (неопр.). — Москва: Мир, 1975.