Пространство основных функций

Пространство основных функций — структура, с помощью которой строится пространство обобщённых функций (пространство линейных функционалов на пространстве основных функций).

Обобщённые функции имеют большое значение в математической физике, а пространство основных функций используется как основа для строительства обобщённых функций (формально это область определения соответствующих обобщенных функций). Дифференциальные уравнения рассматриваются в т. н. слабом смысле, то есть рассматривается не поточечное равенство, а равенство соответствующих регулярных линейных функционалов на подходящем пространстве основных функций. См. пространства Соболева.

Обычно в качестве пространства основных функций ${\mathcal {D}}(\Omega )$ выбирается пространство бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем (т. н. финитных функций) $C_{0}^{\infty }(\Omega )$, на котором вводится следующая сходимость (а значит и топология):

Последовательность $\left\{u_{j}\right\}_{j=1}^{\infty }\subset {\mathcal {D}}(\Omega )$ сходится к $u\in {\mathcal {D}}(\Omega )$, если:

1. Функции $u_{j}$ равномерно финитны, то есть $\exists K$ — компакт в $\Omega$ и в том числе $\forall j\;\mathrm {supp} \,u_{j}\subset K$.
2. $\forall \alpha \;D^{\alpha }u_{j}(x)\to D^{\alpha }u(x)$ равномерно по $x$.

Здесь $\Omega$ — ограниченная область в $\mathbb {R} ^{n}$.

Для вопросов преобразования Фурье используются обобщённые функции медленного роста. Для них в качестве основного выбирается класс Шварца ${\mathcal {S}}={\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ — бесконечно гладких на $\mathbb {R} ^{n}$ функций, убывающих при $|x|\to \infty$ быстрее любой степени $|x|^{-k}$ вместе со всеми своими производными. Сходимость на нём определяется следующим образом: последовательность функций $\phi _{1},\phi _{2},\dots$ сходится к $\phi ^{*}$, если

$\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {N} \ |x|^{\alpha }D^{\beta }\phi _{j}(x)\to |x|^{\alpha }D^{\beta }\phi ^{*}(x)$ равномерно по $x$.

Выбор класса Шварца для построения преобразования Фурье на пространстве обобщенных функций обуславливается тем, что преобразование Фурье является автоморфизмом на классе Шварца.

Литература

• В.С. Владимиров. Обобщённые функции в математической физике. — изд. 2-е. — М.: Наука, 1979. — 320 с.

См. также

• Обобщённая функция
• Финитная функция