Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 16 января 2020 года; проверки требуют 2 правки.
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 16 января 2020 года; проверки требуют 2 правки.
Пси-функции Бухгольца являются иерархией ординальных коллапсирующих функций , введенной немецким математиком Вилфридом Бухгольцем в 1986 году.[1] Эти функции являются упрощенной версией -функций Фефермана[англ.], но тем не менее, имеют такую же силу. Позже этот подход был расширен немецкими математиками Г. Егером[2] и К. Шютте[3].
Нормальной формой для нуля является 0. Если – ненулевой ординал, тогда нормальной формой для является , где и , где каждый ординал также записан в нормальной форме.
Фундаментальная последовательность для предельного ординала с кофинальностью – это строго возрастающая трансфинитная последовательность с длиной и с пределом , где представляет собой -й элемент этой последовательности, то есть .
Для предельных ординалов , записанных в нормальной форме, фундаментальные последовательности определяются следующим образом:
Поскольку Бухгольц работает в cистеме Цермело — Френкеля, каждый ординал равен множеству всех меньших ординалов, . Условие означает, что множество содержит все ординалы, меньшие чем или другими словами .
Условие означает, что множество содержит:
все ординалы из предыдущего множества ,
все ординалы, которые могут быть получены суммированием аддитивно главных ординалов из предыдущего множества ,
все ординалы, которые могут быть получены применением ординалов (меньших чем ) из предыдущего множества , как аргументов функций , где .
Поэтому данное условие может быть переписано следующим образом:
Таким образом, объединение всех множеств с , то есть , является множеством всех ординалов, которые могут быть образованы из ординалов функциями + (сложение) и , где и .
Тогда является наименьшим ординалом, который не принадлежит этому множеству.
Примеры
Рассмотрим следующие примеры:
(поскольку нет значений функций для , а 0 + 0 = 0).
Тогда .
содержит и все возможные суммы натуральных чисел. Следовательно, – первый трансфинитный ординал, который больше всех натуральных чисел по определению.
содержит и все их возможные суммы. Следовательно, .
, то есть содержит все счетные ординалы. Следовательно, содержит все возможные суммы всех счетных ординалов и является первым несчетным ординалом, который больше всех счетных ординалов по определению, то есть наименьшим ординалом с кардинальностью .
Если , тогда и .
, где – натуральное число, ,
Для случая множество содержит функции со всеми аргументами, меньшими чем , то есть такими аргументами, как
↑Jäger, G.-inaccessible ordinals, collapsing functions, and a recursive notation system (англ.) // Archiv f. math. Logik und Grundlagenf. : journal. — 1984. — Vol. 24, no. 1. — P. 49—62.
↑Buchholz, W.; Schütte, K. Ein Ordinalzahlensystem ftir die beweistheoretische Abgrenzung der -Separation und Bar-Induktion (нем.) // Sitzungsberichte der Bayerischen Akademie der Wissenschaften, Math.-Naturw. Klasse : magazin. — 1983.