Равновеликая азимутальная проекция Ламберта

Равновеликая азимутальная проекция Ламберта — это способ проекции с поверхности сферы на поверхность круга. Эта проекция сохраняет площади, но не сохраняет углы. Проекция носит имя швейцарского математика Иоганна Генриха Ламберта, который представил её в 1772 году.

Равновеликая азимутальная проекция Ламберта с центром в 0° N 0° E и антиподом в 0° N 180° E, недалеко от Кирибати в Тихом океане. Эта точка представлена всей круговой границей карты, и океан вокруг этой точки показан вдоль всей границы.

Равновеликая азимутальная проекция Ламберта используется в качестве картографической проекции в картографии.

Определение

Чтобы определить проекцию, представим себе что сфера касается плоскости в точке S. Пусть P будет любой точкой на сфере, кроме точки противоположной S, d будет дистанцией между S и P в трёхмерном пространстве. Тогда точка P проецируются в точку P' на плоскости, которая удалена от S на то же расстояние d.

Другими словами, через точку P проводится окружность с центром в точке S. Точка пересечения окружности с плоскостью и есть искомая точка P'. Точка S это вырожденный случай — она проецируется сама в себя.

Формулы

Прямое преобразование

Преобразования из сферической координатной системы в декартову систему координат равновеликой азимутальной проекции Ламберта осуществляется по следующим формулам:

$x=k'\cos \phi \sin(\lambda -\lambda _{0})$,

$y=k'[\cos \phi _{1}\sin \phi -\sin \phi _{1}\cos \phi \cos(\lambda -\lambda _{0})]$,

где $\phi _{1}$ — стандартная параллель, $\lambda _{0}$ — центральная долгота, и

$k'={\sqrt {\frac {2}{1+\sin \phi _{1}\sin \phi +\cos \phi _{1}\cos \phi \cos(\lambda -\lambda _{0})}}}$.

Обратное преобразование

$\phi =\sin ^{-1}(\cos {c}\sin \phi _{1}+{\frac {y\sin {c}\cos \phi _{1}}{\rho }})$,

$\lambda =\lambda _{0}+\tan ^{-1}({\frac {x\sin {c}}{\rho \cos \phi _{1}\cos {c}-y\sin \phi _{1}\sin {c}}})$,

где

$\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$,

$c=2\sin ^{-1}(\rho /2)$.

Ссылки

• Lambert Azimuthal Equal-Area Projection — Wolfram MathWorld