Равноугольные прямые

Равноугольные прямые — семейство прямых в евклидовом пространстве такое, что угол между любыми двумя прямыми из этого множества один и тот же.

Вычисление максимального числа равноугольных прямых в n-мерном евклидовом пространстве является трудной задачей и в общем случае нерешённой, хотя границы известны. Максимальное число равноугольных прямых в двумерном пространстве равно 3 — можно провести прямые через противоположные вершины правильного шестиугольника, тогда каждая прямая будет пересекать две другие под углом 120 градусов. Максимальное число в трёхмерном пространстве равно 6 — можно провести прямые через противоположные вершины икосаэдра. Максимальное число в размерностях от 1 до 18 перечислено в Энциклопедии целочисленных последовательностей:

1, 3, 6, 6, 10, 16, 28, 28, 28, 28, 28, 28, 28, 28, 36, 40, 48, 48, ...

В частности, максимальное число равноугольных прямых в пространстве размерности 7 равно 28. Можно получить эти прямые следующим образом: берётся вектор (-3, -3, 1, 1, 1, 1, 1, 1) в $\mathbb {R} ^{8}$ и образует все 28 векторов путём перестановки элементов вектора. Скалярное произведение любых двух этих прямых равно 8, если существуют два значения 3, находящиеся в одной и той же позиции, и -8 в других случаях. Таким образом, прямые, на которых лежат эти вектора, равноугольны. Однако все 28 векторов ортогональны вектору (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) в $\mathbb {R} ^{8}$, так что все они лежат в 7-мерном подпространстве. Фактически, эти 28 векторов (и отрицательные к ним векторы), с точностью до вращений, являются 56 вершинами 3₂₁ многогранника. Другими словами, они являются весовыми векторами 56-мерного представления группы Ли E₇.

Равноугольные прямые эквивалентны два-графам. Пусть задано множество равноугольных прямых и c равен косинусу общего угла. Мы считаем, что угол не равен 90 °, поскольку это случай тривиален (не интересен, поскольку прямые являются просто координатными осями). Тогда c не равен нулю. Мы можем перенести прямые, чтобы они проходили через начало координат. Выберем по одному единичному вектору на каждой прямой. Образуем матрицу M скалярных произведений. Эта матрица имеет 1 на диагонали и ± c на других местах, а также она симметрична. Если вычесть единичную матрицу E и разделить на c, получим симметричную матрицу с нулевой диагональю и ± 1 вне диагонали. А это матрица смежности Зайделя два-графа. И обратно, любой два-граф можно представить в виде множества равноугольных прямых.

Литература

• Онлайн энциклопедия целочисленных последовательностей, Максимальное число множества равноугольных прямых в n-мерном пространстве, последовательность A002853.
• A. E. Brouwer, A. M. Cohen, A. Neumaier. Секция 3.8 // Distance-Regular Graphs. — Berlin: Springer-Verlag, 1989.
• Chris Godsil, Gordon Royle. Algebraic Graph Theory. — New York: Springer-Verlag, 2001. — Т. 207.
• Gosselin, S., Regular two-graphs and equiangular lines, Master's thesis, Mathematics Department, University of Waterloo, 2004.
• J. H. van Lint, J. J. Seidel. Equilateral point sets in elliptic geometry // Indagationes Mathematicae. — 1966. — Т. 28.